[科普中國]-諾伊曼一莫根施特恩解

馮·諾伊曼和摩根斯坦恩在1944年提出了穩(wěn)定集這個解概念。

對博弈 的分配集 的一個子集 ，

(1) 如果 中的任何兩個分配都沒有優(yōu)超關系(即不存在一個分配通過一個聯(lián)盟占優(yōu)另一個分配)，則稱 是內(nèi)部穩(wěn)定的。

(2) 如果任取 外的一個分配 ，存在分配 ，使得 優(yōu)超 ，則稱 是外部穩(wěn)定的。既是內(nèi)部穩(wěn)定的，又是外部穩(wěn)定的分配集稱為穩(wěn)定集(也稱為N-M解，諾伊曼-莫根施特恩解)2。

定理 核心必定屬于穩(wěn)定集，但穩(wěn)定集不一定是核心。

核心里的任一個分配都不被其他分配優(yōu)超，所以核心一定滿足內(nèi)部穩(wěn)定，如果核心中有一個分配 不屬于穩(wěn)定集，則穩(wěn)定集里一定存在一個分配 優(yōu)超分配 ，這與核心中的任一分配不被優(yōu)超矛盾，所以核心屬于穩(wěn)定集2。

有一家商店在搞打折促銷的活動，優(yōu)惠的方法是：單買一件棉衣100元；如果一次購買2件棉衣，第二件半價，即只要150元，但沒有其他形式的優(yōu)惠．現(xiàn)恰有互不相識的甲、乙、丙3人在店里都想買一件棉衣，則他們?nèi)绻麅蓚€人合作，兩人總共可以少花50元，如果3個人合作，也只可以節(jié)省50元，討論該問題的穩(wěn)定集。

解： 這個博弈的特征函數(shù)可以寫為

一個博弈可能形成哪一個聯(lián)盟，這要考慮這個博弈所面對的現(xiàn)實環(huán)境的多種因素，如本題這個簡單的例子，對于兩人聯(lián)盟，聯(lián)盟外的第三個局中人會設法（如給聯(lián)盟中一個局中人更高的收益）使一個局中人脫離原聯(lián)盟與自己組成聯(lián)盟。而三個人的聯(lián)盟與兩個人的聯(lián)盟的收益一樣多，三個人結成的大聯(lián)盟更有問題，前面已經(jīng)假設一個聯(lián)盟形成后，在整個博弈過程中不變，因此形成了三人大聯(lián)盟，就假設三人大聯(lián)盟在分析時不破裂，注意這是決策的分析，不是現(xiàn)實中的實施，分析要全面，只有分析全面了，現(xiàn)實中的實施才更有保障。

這個博弈例子沒有核心。

分配集的一個子集 就是這個博弈的一個穩(wěn)定集 。因為這個集合中的任兩個分配之間不存在優(yōu)超關系。對集合外的一分配，例如 ，這里 。分配 中關于聯(lián)盟 優(yōu)超分配 。

現(xiàn)對穩(wěn)定集 外的任一分配 。因為是分配，所以 ，假設穩(wěn)定集中的三個分配都不優(yōu)超分配 。

分配 不優(yōu)超分配 ，所以 或者 ；

分配 不優(yōu)超分配 ，所以 或者 ；

分配 不優(yōu)超分配 ，所以 或者 ；

因此 或者 至少有兩個必須同時成立，設是 和 ，又因為 是一個分配，所以 ，要這些都成立，只有 ，且 。這是穩(wěn)定集中的一個分配，與 是穩(wěn)定集外的分配矛盾，因此假設錯誤，則集合 外的任一分配都至少被該集合內(nèi)的一個分配優(yōu)超。

核心是一個唯一確定的集合，但穩(wěn)定集不是，一個博弈可以有多個穩(wěn)定集，并且穩(wěn)定集也有可能是空集，盧卡斯(lucas)在1968年舉出下面這個沒有穩(wěn)定集的合作博弈：

博弈 ，其中 ，有特征函數(shù)：

對于其他的聯(lián)盟 ，有 。盧卡斯證明了這個博弈沒有穩(wěn)定集2。