[科普中國]-擬基本解

定義

給定算子，若存在，使得，則稱是對于算子A的一個(gè)左擬基本解；

給定算子，若存在，使得，則稱是對于算子A的一個(gè)右擬基本解；

如果算子E既是算子A的左擬基本解，又是右擬基本解，則稱E是A的一個(gè)擬基本解。

擬基本解可視為逆算子概念的推廣。

基本解【fundamental soulution】

對于給定的微分算子P(D)，稱滿足方程P(D)E(x)=b(x)的廣義函數(shù)E(x)為算子P(D)的基本解，這里δ(x)是迪拉克廣義函數(shù)。例如，拉普拉斯算子的基本解為或，其中，為n-1維單位球面面積。

埃倫普賴斯（Ehrenpreis）與馬爾格朗熱（Malgrange）證明了每個(gè)常系數(shù)微分算子P(D)都存在上述意義下的基本解E(x)。赫爾曼德（Homander）證明了每個(gè)常系數(shù)微分算子P(D)都存在緩增函數(shù)的基本解。

對于發(fā)展型方程的柯西問題，可以定義柯西問題的基本解。

例如，熱傳導(dǎo)方程柯西問題的基本解定義為滿足問題

的廣義函數(shù)E(x，t)。它的具體形式為。

基本解在偏微分方程理論中是十分有用的工具，它可以用來構(gòu)造其他解，或用于研究解的性質(zhì)。1