[科普中國]-非劣解

非劣解(noninferior solution)是多目標(biāo)規(guī)劃的基本概念之一，對(duì)于包括有定量和定性屬性的多指標(biāo)決策問題(參見“多目標(biāo)決策問題”)，其非劣解是指在所給的可供選擇的方案集中，已找不到使每一指標(biāo)都能改進(jìn)的解。在多目標(biāo)規(guī)劃中，它即指有效解和較多最優(yōu)解1。

基本介紹一般來說多目標(biāo)規(guī)劃問題(VP)的絕對(duì)最優(yōu)解是不存在的。當(dāng)絕對(duì)最優(yōu)解不存在時(shí)，需要引入新的“解”的概念——非劣解( non-inferior solution)，又稱非控解(non-dominance solution)、有效解（efficient solution）、巴列托最優(yōu)解(Pareto-optimal solution)、錐最優(yōu)解( cone-optimal solution)。

非劣解 設(shè) 為多目標(biāo)決策問題向量目標(biāo)函數(shù)，其分量 均越大越優(yōu)。對(duì) ，若在X中不存在 使 ，且至少對(duì)一個(gè) 嚴(yán)格不等式成立，則稱 為向量?jī)?yōu)化問題的非劣解。

所謂非劣解是指這樣的方案（記作A），在可行解集中再也找不到另一方案B，方案B的各目標(biāo)函數(shù)值（屬性值）都不劣于方案A的相應(yīng)目標(biāo)值，而且B至少有一個(gè)目標(biāo)比方案A優(yōu)。

根據(jù)決策人的偏好結(jié)構(gòu)從非劣解集中選出的決策人最滿意的解叫最佳調(diào)和解(Best Compromise Solution)2。

產(chǎn)生非劣解的主要方法下面，簡(jiǎn)單介紹三種產(chǎn)生非劣解的主要方法。

K-T條件1) 純量?jī)?yōu)化問題的K-T條件

非線性規(guī)劃

設(shè) 滿足約束條件，如果梯度向量對(duì)于 在下標(biāo)集上（起作用約束）是線性獨(dú)立的，則稱 是正則點(diǎn)（對(duì) 起作用的約束條件的梯度是線性獨(dú)立的）。

K-T條件：

其中 .

它是最優(yōu)解 的一個(gè)必要條件，但不一定充分。如果 是凹函數(shù)，可行空間X是凸域，則K-T條件也是充分條件。

2) 向量?jī)?yōu)化問題的K-T條件

向量?jī)?yōu)化問題存在非劣解的必要條件：

K-T條件：

其中

有了向量?jī)?yōu)化問題的非劣解的K-T條件，即可介紹非劣解的產(chǎn)生方法。最常用的方法有加權(quán)法和約束法。這些方法的公共特點(diǎn)是把向量?jī)?yōu)化問題轉(zhuǎn)為純量?jī)?yōu)化問題。

加權(quán)法加權(quán)法就是通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)，直接利用K-T條件推出非劣解。

K-T條件：

其中

由于

可知

加權(quán)的純量?jī)?yōu)化問題的最優(yōu)解和原來的向量?jī)?yōu)化問題的非劣解有相同的K-T必要條件。

可以證明：只有當(dāng)權(quán) 都嚴(yán)格為正時(shí)，才能保證加權(quán)的純量問題的最優(yōu)解是原來的向量?jī)?yōu)化問題的非劣解。

如果有一個(gè)或多個(gè) ，則純量?jī)?yōu)化問題找到的最優(yōu)解有可能不是唯一的，在這些最優(yōu)解中，有的解可能是原來的向量?jī)?yōu)化問題的劣解2。

約束法約束法可以由非劣解的K-T條件直接導(dǎo)出2。

一般情況：

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)