[科普中國]-非游蕩集

概念

非游蕩集(nonwandering set)是動(dòng)力系統(tǒng)中的重要的不變集。一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)f的所有非游蕩點(diǎn)的集合稱為f的非游蕩集，記為Ω(f)。對于緊空間上的動(dòng)力系統(tǒng)，非游蕩集是非空的閉不變集，而且由于極限集屬于非游蕩集，因此所有的軌道，當(dāng)時(shí)刻趨于無窮時(shí)將停留在非游蕩集的任意鄰域之中。由此看到，非游蕩集的結(jié)構(gòu)在相當(dāng)程度上決定著動(dòng)力系統(tǒng)的整體行為，故弄清非游蕩集的構(gòu)造及擾動(dòng)下的穩(wěn)定性(即Ω結(jié)構(gòu)穩(wěn)定)都是十分重要的。

游蕩點(diǎn)游蕩點(diǎn)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一種相點(diǎn)。由該點(diǎn)出發(fā)的相軌經(jīng)足夠時(shí)間后將不再回歸至它的某個(gè)鄰域。其形式定義為：對R中(或流形M上)的點(diǎn)p，若存在它的鄰域U?R(或M)和某時(shí)間N>0，使對任意t>N，均有φt(U)∩U=?，即由U內(nèi)出發(fā)的軌道均離開U而不返回，則稱點(diǎn)p為游蕩點(diǎn)，否則稱為非游蕩點(diǎn)。1

非游蕩點(diǎn)非游蕩點(diǎn)是動(dòng)力系統(tǒng)中最重要的概念之一，指其任意鄰域具有域回歸性的點(diǎn)。設(shè)f是M上的流(離散動(dòng)力系統(tǒng))，若對于x的任意鄰域U及任意T>0(N>0)，存在t>T(n>N)，使得：

則點(diǎn)x∈M稱為非游蕩點(diǎn)。對于半流與離散半動(dòng)力系統(tǒng)，非游蕩點(diǎn)定義相同。極限點(diǎn)、周期點(diǎn)以及P式穩(wěn)定軌道上的點(diǎn)都是非游蕩點(diǎn)。不是非游蕩點(diǎn)的點(diǎn)稱為游蕩點(diǎn)。

不變集動(dòng)力系統(tǒng)中的重要概念之一。它是動(dòng)力系統(tǒng)研究的重要對象。設(shè)f是M上的流(離散動(dòng)力系統(tǒng))，M的子集A是不變集當(dāng)且僅當(dāng)對任意t∈R(n∈Z)，有：

由此得出f(t，A)=A(f(A)=A)。粗糙地說，不變集就是由整條軌道組成的子集。如果A?M是一不變集，則f對A的限制也是一動(dòng)力系統(tǒng)。對于半流及離散半動(dòng)力系統(tǒng)f，設(shè)A是M的子集，若對任意t≥0(n≥0)有f(t，A)?A(fn(A)?A)(此時(shí)不一定有f(t，A)=A(fn(A)=A))，那么就稱A是f的不變集。重要的不變集有ω極限集、α極限集、非游蕩集和鏈回歸集等。2

動(dòng)力系統(tǒng)粗略地說，如果自然界中一些隨時(shí)間演變的體系，其各種狀態(tài)x所構(gòu)成的集合X有與時(shí)間t相關(guān)的動(dòng)態(tài)規(guī)律Фt(x)(-∞