[科普中國]-可行下降方向

研究問題

對約束優(yōu)化問題（非線性規(guī)劃問題NLP）

(1)

記可行集

對約束優(yōu)化問題的最優(yōu)值點(diǎn)，一個顯然的結(jié)論是該點(diǎn)在可行域內(nèi)部不能含有下降方向。

可行下降方向的定義定義一若可行方向滿足，則稱d為約束優(yōu)化問題(1)在x點(diǎn)的可行下降方向。

定義二設(shè)X是非線性規(guī)劃問題(NLP)的一個可行點(diǎn)，非零矢量d即是點(diǎn)X處的可行方向，又是f(X)在點(diǎn)X處的一個下降方向，則稱d為f(X)在點(diǎn)X處的一個可行下降****方向。1

可行方向定義稱為約束優(yōu)化問題(1)在x點(diǎn)的可行方向，若存在，對任意，有。

可行方向的基本性質(zhì)若為約束優(yōu)化問題(1)在x點(diǎn)的可行方向，則2

證明: 由于一個等式約束可以等價地表示成兩個不等式約束，為此，我們只考慮含有不等式約束的情形，若結(jié)論不成立，則存在，使得，從而對充分小的有

這與d為約束優(yōu)化問題(1)在x點(diǎn)的可行方向矛盾。 證畢。

對約束為線性的情況，上述結(jié)論的逆命題也成立，借助可行方向，容易建立約束優(yōu)化問題的下述性質(zhì)。

相關(guān)定理定理1設(shè)是約束優(yōu)化問題(1)的局部最優(yōu)解，則點(diǎn)的任一可行方向d滿足。

該結(jié)論是說，在約束優(yōu)化問題的最優(yōu)值點(diǎn)不存在可行下降方向。

利用定理1，并結(jié)合穩(wěn)定點(diǎn)的定義，我們可以得到下面的結(jié)論：

定理2若約束優(yōu)化問題(1)的可行域?yàn)殚]凸集，則其任一局部最優(yōu)解為其穩(wěn)定點(diǎn)。

下降方向定義設(shè)x是(NLP)的一個可行點(diǎn)(可行域中的點(diǎn))，若存在非零矢量d滿足：存在，當(dāng)時，則稱d為f(x)在點(diǎn)x處的一個下降方向。 1