[科普中國]-三角插值

概念

插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個點處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點處的近似值。常用的插值方法有多項式插值、樣條差值、分段插值、三角插值等。

而三角插值，作為常用的插值方法之一，是指取插值函數(shù)為三角多項式的插值方法。特別適用于對周期函數(shù)的插值.設(shè)被插值函數(shù)f(x)為以2二為周期的函數(shù)，取n階三角多項式稱上式為高斯三角插值公式1。

相關(guān)定理定理1設(shè)函數(shù)f的周期函數(shù)為 、且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則Fourier級數(shù) 一致收斂于f。其中系數(shù)有下列公式計算：

顯然系數(shù)滿足 。

定理2Flourier級數(shù)定理）

設(shè)，則

三角多項式在數(shù)學(xué)中，三角多項式是一類基于三角函數(shù)的函數(shù)的總稱。三角多項式是可以表示成有限個正弦函數(shù)sin(nx) 和余弦函數(shù)cos(nx) 的和的函數(shù)，其中的x是變量，而n是一個自然數(shù)。三角多項式中每一項的系數(shù)可以是實數(shù)或者復(fù)數(shù)。如果系數(shù)是復(fù)數(shù)的話，那么這個三角多項式是一個傅里葉級數(shù)。

三角多項式在許多數(shù)學(xué)分支，如數(shù)學(xué)分析和數(shù)值分析中都有應(yīng)用，例如在傅里葉分析中，三角多項式被用于傅里葉級數(shù)的表示，在三角插值法中，三角多項式被用于逼近周期性函數(shù)2。

定義一個函數(shù)T如果能夠?qū)懗桑?/p>

的形式，其中對于所有的 ，an和bn都是復(fù)數(shù)，那么就稱其為N階復(fù)三角多項式。運(yùn)用歐拉公式，這個函數(shù)可以寫為：

同樣地，如果對于所有的{\displaystyle 0\leq n\leq N}，an和bn都是實數(shù)的話，那么函數(shù)t

就被稱N階實三角多項式。

性質(zhì)是關(guān)于的n次多項式, 實際上，這種多項式稱為第一類切比雪夫多項式。同樣地， 也是關(guān)于 和 的n次多項式，稱為第二類切比雪夫多項式。

因此，一個三角多項式實際上也可以認(rèn)為是關(guān)于三角函數(shù) 和 的多項式。

三角多項式都是周期為 的周期函數(shù)。同時，任何連續(xù)的周期函數(shù)都可以借助于三角多項逼近到任意接近的程度。

應(yīng)用（費(fèi)耶三角插值）在傅利葉譜分析中 ，一旦函數(shù) f 的狄利克雷和系數(shù)通過在等距節(jié)點處的數(shù)值求積確定下來 ，結(jié)果函數(shù)就在這些點處插值 f 并以高精度逼近連續(xù)部分和 。 通過研究三角多項式和立方樣條差值逼近連續(xù)費(fèi)耶和問題 ，可以得到以下結(jié)果 ：連續(xù)費(fèi)耶和可以通過兩個費(fèi)耶插值的平均以高精度逼近 ，一個在偶指標(biāo)結(jié)點集插值 f ，另一個在奇指標(biāo)結(jié)點集插值 f ，由于立方樣條插值容易構(gòu)造 ，所以它常被用來代替三角插值 。

傅里葉和并不對所有連續(xù)函數(shù)收斂 ，而費(fèi)耶和對所有連續(xù)函數(shù)都收斂 ，三角插值理論的幾個過程都可以通過費(fèi)耶和的方式得到 ，大多數(shù)情況下這些多項式的一致收斂性也可以通過對應(yīng)的多項式顯示形式直接得到 。由可和函數(shù)的費(fèi)耶定理可以得到一個重要事實 ，即 ：所有可和函數(shù)均由其傅里葉系數(shù)唯一確定 。

許多人研究過三角插值求和表明 ，在許多情況下 ，傅利葉級數(shù)的每個收斂或可和性理論 ，都可以移植到等距節(jié)點的三角插值過程的收斂性或可和性 ，這一類型的算子可看作離散算子的特例3 。