[科普中國]-特征泛函

特征泛函(characteristic functional)研究隨機過程分布律的重要分析工具。在經(jīng)典概率論中，富氏分析方法，或者說得更具體一點，特征函數(shù)方法是非常重要的。在研究抽象空間的概率論時，由于Bochner定理和Levy連續(xù)性定理這兩個基本定理不再普遍成立，富氏分析方法的應(yīng)用，受到了很大的限制，由推廣特征函數(shù)的概念而得到的特征泛函，仍然保有特征函數(shù)的一系列基本性質(zhì)，所以有時仍不失為一個有效的工具。

簡介如同隨機變量的統(tǒng)計特性可用它的特征函數(shù)表征那樣，特征泛函作為特征函數(shù)的推廣形式，能提供隨機過程分布律的一個完全的統(tǒng)計刻畫。因此，特征泛函是研究隨機過程（特別是隨機點過程）的一種有用的工具。

隨機過程的特征泛函相應(yīng)于隨機變量或隨機向量的特征函數(shù)或聯(lián)合特征函數(shù)。特征泛函既等價于整個過程的分布（有限維分布函數(shù)族），又能快速的得到一切矩。1廣義隨機過程的特征泛函的概念是概率分布的特征函數(shù)概念的推廣。2

Poisson過程的特征泛函定義對于Poisson過程 及定義在[0，T]上的函數(shù) ，我們將 的特征函數(shù)在1處的值記為 ，即

這里的f是參變函數(shù)，對于給定的一個函數(shù)f，就有一個數(shù) 與之對應(yīng)，這種從函數(shù)f到 的映射稱為泛函，又因為此泛函是通過Poisson過程的積分生成的，所以稱之為Poisson過程的泛函。1

定理Poisson過程的特征泛函的表達(dá)公式為：1

非時齊的Poisson過程的特征泛函定義非時齊的Poisson過程的特征泛函仍定義為：1

定理非時齊的Poisson過程的特征泛函的表達(dá)公式為：1

Gauss過程的特征泛函對于期望函數(shù)為0，協(xié)方差函數(shù)為R(s,t)的Gauss過程 ，及任意連續(xù)增函數(shù)f(t)，定義Gauss過程的特征泛函為：

它是Gauss隨機變量在 的特征函數(shù)在1處的值。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)