[科普中國]-序列算子

設(shè)X=(x(1)，x(2)，...，x(n))為原始序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過算子D作用后所得序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，...，x(n)d)，我們稱D為序列算子(sequence operator )，稱XD為一次算子緩沖序列；序列算子的作用可以多次進(jìn)行，相應(yīng)地；我們稱XD1D2=(x(1)d1d2，x(2)d1d2，...，x(n)d1d2)為二次算子緩沖序列，稱XD1D2D3=(x(1)d1d2d3，x(2)d1d2d3，...，x(n)d1d2d3)為三次算子緩沖序列，等等。序列算子D可根據(jù)原始序列受沖擊波干擾的情況進(jìn)行適當(dāng)定義。

定義設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過算子D作用后所得序列記為

稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。

序列算子的作用可以進(jìn)行多次，相應(yīng)地，若皆為序列算子，我們稱為二階算子，并稱

為二階算子作用序列。同理稱為三階序列算子，并稱

為三階算子作用序列，等等1。

緩沖算子三公理序列算子D可根據(jù)原始序列受沖擊波干擾的情況進(jìn)行適當(dāng)定義。

定義1設(shè)序列

1. 若，則稱X為增長序列，

2. 若，則稱X為衰減序列，

3. 若存在，使得，則稱X為振蕩序列。 ·

公理1(不動(dòng)點(diǎn)公理) 設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則D滿足

不動(dòng)點(diǎn)公理限定在序列算子作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的數(shù)據(jù)保持不變，即運(yùn)用序列算子對(duì)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，不改變這一即成事實(shí)。

根據(jù)定性分析的結(jié)論，亦可使以前的若干個(gè)數(shù)據(jù)在序列算子作用下保持不變。例如，令

且

其中。

公理2(信息充分利用公理) 系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都應(yīng)充分地參與算子作用的全過程。

信息充分利用公理限定任何序列算子都應(yīng)以現(xiàn)有序列中的信息為基礎(chǔ)進(jìn)行定義，不允許拋開原始數(shù)據(jù)另搞一套。

公理3(解析化、規(guī)范化公理) 任意的，皆可由一個(gè)統(tǒng)一的的初等解析式表達(dá)。

公理3要求由系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列得到算子作用序列的程序清晰、規(guī)范、統(tǒng)一且盡可能簡化，以便于計(jì)算出算子作用序列并使計(jì)算易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。

定義2 稱上述三個(gè)公理為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子稱為緩沖算子，一階、二階、三階……緩沖算子作用序列稱為一階、二階、三階……緩沖序列。

定義3 設(shè)X為原始數(shù)據(jù)序列，D為緩沖算子，當(dāng)X分別為增長序列、衰減序列或振蕩序列時(shí)：

1. 若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減小，我們稱緩沖算子D為弱化算子；

2. 若緩沖序列XD比原始序列X的增長速度(或衰減速度)加快或振幅增大，則稱緩沖算子D為強(qiáng)化算子1。

緩沖算子的性質(zhì)定理1 設(shè)X為單調(diào)增長序列，XD為其緩沖序列，則有

1. D為弱化算子；

2. D為強(qiáng)化算子。

即單調(diào)增長序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹，在強(qiáng)化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮。

定理2 設(shè)X為單調(diào)衰減序列，XD為其緩沖序列，則有

1. D為弱化算子；

2. D為強(qiáng)化算子。

即單調(diào)衰減序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮，在強(qiáng)化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹．

定理3 設(shè)X為振蕩序列，XD為其緩沖序列，則有

1.若D為弱化算子，則

2.若D為強(qiáng)化算子，則

實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理4 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列

令

其中

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時(shí)，D皆為弱化算子。

下面的推論進(jìn)一步刻化了弱化算子D的性質(zhì)：

推論1 對(duì)于定理4中定義的弱化算子D，令

則對(duì)于單調(diào)增長、單調(diào)衰減或振蕩序列，皆為二階弱化算子。

定理5 設(shè)原始序列和其緩沖序列分別為

其中

則當(dāng)X為單調(diào)增長序列或單調(diào)衰減亭列時(shí)，D皆為強(qiáng)化算子。

推論2 設(shè)D為定理5中定義的強(qiáng)化算子，令

其中

則對(duì)于單調(diào)增長序列和單調(diào)衰減序列皆為二階強(qiáng)化算子。

定理6 設(shè)，令

其中

則對(duì)單調(diào)增長序列為強(qiáng)化算子，對(duì)單調(diào)衰減序列為強(qiáng)化算子.

推論3 對(duì)于定理6中定義的，則分別為單調(diào)增長、單調(diào)衰減序列的二階強(qiáng)化算子。

當(dāng)然，我們還可以考慮構(gòu)造其它形式的實(shí)用緩沖算子。緩沖算子不僅可以用于灰色系統(tǒng)建模，而且還可以用于其它各種模型建模，通常在建模之前根據(jù)定性分析結(jié)論對(duì)原始數(shù)據(jù)序列施以緩沖算子，淡化或消除沖擊擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的影響，往往會(huì)收到預(yù)期的效果1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)