[科普中國]-超幾何級數(shù)

定義

超幾何級數(shù)亦稱高斯級數(shù)，是超幾何方程在單位圓內(nèi)的第一解。

求和項是超幾何項的級數(shù)稱為超幾何級數(shù)，常用如下記號表示

其中且表示升階乘，即。

超幾何項【bypergeometric term】

超幾何項

定義在自然數(shù)上的函數(shù)f(n)被稱為超幾何項，如果f(n+1)/f(n)是關(guān)于n的有理函數(shù)，即存在多項式p(n)和q(n)使得可以表示為有限個超幾何項的線性組合的函數(shù)被稱為閉形式（closed form）。

雙超幾何項如果都是關(guān)于n和k的有理函數(shù)，F(xiàn)(n，k)稱為雙超幾何項（hypergeometric term in both arguments）。

正則超幾何項組合恒等式機器證明的主要研究對象是一類特殊的雙超幾何項，被稱為正則超幾何項（proper bypergeometric term ），它是如下形式的二元函數(shù)，其中x是不定元，且：

（1）P(n，k)是關(guān)于n，k的多項式；

（2）a??，b??，u??，v??都是整數(shù)；

（3）c??，w??是可以含其他未定參數(shù)的常數(shù)；

（4）l和m是非負整數(shù)。

若中沒有負整數(shù)，則具有如上形式的F在點(n，k)是有定義的。若F在(n，k)點有定義，且P(n，k)=0，或至少有一個是負整數(shù)，則認為F(n，k)=0。

例如，是正則超幾何項，因為它可以寫成滿足定義。又如，雖然F(n,k)=1/(n+3k+1)看起來不是正則超幾何項的形式，但是它可以寫成如下形式:

所以它也是正則超幾何項。可以證明F(n,k)=1/(n2+k2+1)不是正則超幾何項。1