[科普中國]-若爾當(dāng)容度

若爾當(dāng)容度(Jordan content)是長度(或面積、體積)概念的一種推廣。若爾當(dāng)容度具有非負(fù)、單調(diào)、有限可加及在正交變換下(可測性及容度)不變等性質(zhì)。它是由佩亞諾(Peano，G.)于1887年、若爾當(dāng)(Jordan，M.E.C.)于1892年提出的。若爾當(dāng)在其1893年出版的《分析教程》中對它作了詳細(xì)闡述，提出的目的主要是為了完善黎曼意義下的二重積分理論。黎曼積分只能在若爾當(dāng)可測集上進(jìn)行。若爾當(dāng)容度是與黎曼積分相適應(yīng)的，它的局限性在于，可測集類不夠廣泛和只有有限可加性(例如有理點集就是不可測的)，這也說明了黎曼積分的局限性1。

基本介紹若爾當(dāng)容度是長度(或面積、體積)概念的一種推廣，以平面情形為例，設(shè)A為 平面上的有界點集，先用平行于x軸和平行于y軸的直線，將 平面分為邊長為1的閉正方形網(wǎng)格，第二次再將這每個正方形分為四個大小相同的閉正方形，如此下去，用 表示至少含A的一個點的那些第n次所得閉正方形組成之集，用 表示第n次得到的正方形中全部含于A的那些組成之集，并且用 分別表示 和 中的閉正方形的面積之和。數(shù) 和 分別稱為A的外容度和內(nèi)容度。當(dāng)A的內(nèi)、外容度相等時，A稱為若爾當(dāng)可測，這個公共值稱為A的若爾當(dāng)容度，簡稱容度，記為 。對直線上以及一般 中的集合可以類似地定義它的可測性及容度?？梢宰C明，一個集合在若爾當(dāng)意義下可測與否以及可測時的容度數(shù)值，與上述定義中的分法及坐標(biāo)軸方向無關(guān)1。

相關(guān)性質(zhì)定義1設(shè)S是的一個緊區(qū)間的一個子集．對于的每個劃分P定義了是P的只包含S的內(nèi)點的那些子區(qū)間的測度的和，是P的包含的點的那些子區(qū)間的測度的和。下面兩個數(shù)

分別稱為S的(n維)若爾當(dāng)內(nèi)容度和若爾當(dāng)外容度，集合S稱為是若爾當(dāng)可測的，如果。在S若爾當(dāng)可測的情況下， 的這個共同值稱為S的若爾當(dāng)容度， 用來表示2。

容易驗證僅依賴于S，而不依賴于包含S的區(qū)間，而且有。

如果S有零容度，則。于是，對于每一個，S可以被區(qū)間的一個有限族覆蓋，該有限族中各區(qū)間測度之和。注意零容度是用有限覆蓋的語言來描述的，而零測度是用可數(shù)覆蓋的語言來描述的。任何有零容度的集合也有零測度，但是反過來說則未必成立。

每一個緊區(qū)間Q都是若爾當(dāng)可測的，而且它的容度等于它的測度。如果k