[科普中國(guó)]-力迫條件

基本介紹

力迫條件(forcing condition)是公理集合論術(shù)語，指用于力迫構(gòu)造的偏序集的元素。美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩(P.J.Cohen)對(duì)力迫條件的原始定義形為或的有限協(xié)調(diào)公式集，這里a代表用于兼納擴(kuò)充的兼納集(或代表兼納集的名)，n為自然數(shù)。因此，每個(gè)力迫條件就給出了兼納集元素構(gòu)成的一個(gè)局部情況，由于兼納擴(kuò)充模型由兼納集G所決定，因此，一定的力迫條件可以確定出兼納模型中具有或者不具有某種性質(zhì)，一列適當(dāng)?shù)牧ζ葪l件無窮序列可以確定出兼納擴(kuò)充中的所有性質(zhì)，這種力迫條件序列稱為完備力迫條件序列?，F(xiàn)代力迫法對(duì)力迫條件的定義由科恩的原始定義抽象與簡(jiǎn)化而得。

設(shè)為用于力迫構(gòu)造的偏序集，為兩個(gè)力迫條件，若，則稱p強(qiáng)于q，若存在使且，則稱p與q相容，否則稱為不相容，記為。

力迫法力迫法(forcing method)是構(gòu)造集合論模型的主要方法之一，它是由美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩(P.J.Cohen)于1963年為證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定(?CH)與ZFC公理系統(tǒng)的相容性、選擇公理的否定(?AC)與ZF公理系統(tǒng)的相對(duì)相容性時(shí)發(fā)明的，構(gòu)造集合論模型主要有兩條途徑：一是內(nèi)模型方法，即從ZF(C)系統(tǒng)的一個(gè)模型M出發(fā)，構(gòu)造M的一個(gè)子模型N，使N為ZF(C)∪{φ}的模型。美籍奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾在證明CH及AC的相容性時(shí)采用的即是內(nèi)模型法；二是外模型法，即從ZF(C)系統(tǒng)的一個(gè)模型M出發(fā)，通過擴(kuò)充M成為一個(gè)更大的模型N，使N為ZF(C)∪{φ}的模型。科恩通過分析哥德爾的證明過程意識(shí)到，要證明?CH及?AC的相對(duì)相容性，至少不可能在已有的ZF(C)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)模型之內(nèi)構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型，使之滿足?CH或?AC。因此，他采用了外模型方法。假設(shè)ZF(C)系統(tǒng)有一個(gè)可數(shù)的可傳標(biāo)準(zhǔn)模型M，取不屬于M的自然數(shù)集合a(因M可數(shù)，故這樣的a不僅能找到，而且很多)，把a(bǔ)加到M上，以擴(kuò)充出一個(gè)新的模型N[a](?M∪{a})，使得N[a]滿足M所滿足的ZF(C)系統(tǒng)的所有公理。為此，必須恰當(dāng)選擇a，以“逼迫”(Forcing)N[a]滿足人們所希望的命題。這一過程有些像代數(shù)中構(gòu)造代數(shù)擴(kuò)域的過程，將a作為一個(gè)待定元，通過觀察N[a]的性質(zhì)確定a。由于a為自然數(shù)集合，因此a的性質(zhì)取決于哪些自然數(shù)屬于它，哪些自然數(shù)不屬于它。設(shè)p為ω到{0，1}的有限函數(shù)，用函數(shù)p來表示a的一個(gè)部分信息，即當(dāng)p(n)=1時(shí)，表示n∈a；當(dāng)p(n)=0時(shí)，表示n?a。如果能憑借a的一個(gè)部分信息p推知N[a]必定滿足某個(gè)集合論性質(zhì)A，則稱p“力迫”A在N[a]中成立，記為p?A，這里p稱為力迫條件，A稱為力迫結(jié)論，“力迫”一詞的含義是因?yàn)閍具有條件p之后，才迫使性質(zhì)A在N[a]中成立，通過恰當(dāng)定義力迫關(guān)系“?”，可以使之滿足下列性質(zhì)：

1.可靠性：p?A與p?TA不能同時(shí)成立；

2.平凡性：若p?A，則對(duì)任何q?p，q?A(因?yàn)閝比p包含了更多有關(guān)a的信息)；

3.完全性：對(duì)任何條件p及性質(zhì)A，總存在條件q?p，使q?A或??TA，此時(shí)稱q決定A。

根據(jù)上列性質(zhì)，先將所有集合論性質(zhì)排成一個(gè)序列A0，A1，…，任取一個(gè)力迫條件p作為起點(diǎn)，若p不能決定A0，則由完全性可知存在p0?p，使p0決定A，否則取p0=p。若p0也能決定A1，則取p1=p0，否則取p1?p0，使p1決定A1，依此類推，可以得到一個(gè)力迫條件序列{pn}，使得對(duì)任何n，pn?An或pn??AC，稱這樣的序列為一個(gè)完全序列，它完全決定了N[a]的性質(zhì)，令a={n：pn(n)=1}，從而待定元a就可以由力迫序列{pn}所確定，一個(gè)實(shí)際的力迫證明通常采用反證法，它是一種對(duì)角線方法，對(duì)給定的力迫序列{pn}，若欲證明性質(zhì)A在N[a]中成立，反證假設(shè)?A在N[a]中成立，從而存在一個(gè)力迫條件pn?TAn，因pn有限，故可對(duì)pn進(jìn)行恰當(dāng)擴(kuò)充，使q?pn且q??(?A)，但由性質(zhì)2，q??A，這與性質(zhì)1矛盾，從而得出原證結(jié)論。利用這種方法可以證明ZFC+V≠L相對(duì)于ZFC系統(tǒng)相容。對(duì)上列方法再進(jìn)行一般化，可以證出?AC，?CH的相容性結(jié)果。

以上為科恩的力迫法的基本思想，在隨后的十多年中，人們對(duì)力迫法作了較大的改進(jìn)，形成了多種力迫法表述形式，最有代表性的是斯科特(Scott，D.S.)與以色列學(xué)者索洛韋(Solovay，R.M.)等人發(fā)展的布爾值模型方法及休恩菲爾德(Shoenfield，J.R.)給出的偏序集上的兼納擴(kuò)充方法。目前通常采用后一種表述方法或?qū)煞N方法相結(jié)合。力迫擴(kuò)張的過程可大致描述如下：對(duì)ZF(C)系統(tǒng)的一個(gè)可數(shù)可傳模型M(稱為基模型)以及M中的一個(gè)偏序P(稱為力迫概念)，令G?P為P的一個(gè)兼納子集(參見“兼納集”)，一般地，G?M，由兼納模型定理(參見“兼納模型定理”)，存在一個(gè)包含G且擴(kuò)充M的模型M[G]，使M[G]為ZF(C)系統(tǒng)的一個(gè)可數(shù)可傳模型。M[G]稱為M的兼納擴(kuò)充。為了能在基模型M中討論擴(kuò)充模型M[G]的性質(zhì)，引入若干新的常元(它們可以在M中定義出來)，用以表示M[G]中的集合，通常稱之為M[G]中元素的名，記為借助這些名，可以在基模型中描述兼納模型M[G]的性質(zhì)。

在基模型中，恰當(dāng)定義力迫法關(guān)系(這里稱為力迫條件，φ為經(jīng)擴(kuò)充的集合論語言的公式，為的名)，使得如下力迫定理成立：當(dāng)且僅當(dāng)存在，使。因此，M[G]的性質(zhì)就可以由M中的力迫關(guān)系所決定。為了證明某個(gè)集合論假設(shè)A加到ZF(C)系統(tǒng)后相對(duì)ZF(C)系統(tǒng)的相容性，可以適當(dāng)構(gòu)造偏序集P，使得兼納擴(kuò)充M[G]滿足A。利用這種方法可獲得諸如ZFC+?CH，ZF+?AC，ZFC+GCH+V≠L等相對(duì)相容性結(jié)果。如果進(jìn)行一次力迫擴(kuò)充，仍不能使兼納擴(kuò)充模型獲得所需的性質(zhì)，可以將擴(kuò)充后的模型作為基模型，再進(jìn)行若干次擴(kuò)充，直至獲得所需的性質(zhì)。這種方法稱為迭代力迫法。例如ZFC+MA+?CH以及ZFC+SH的相對(duì)相容性即是用迭代力迫法獲得證明的。近十多年來，應(yīng)用迭代力迫法進(jìn)行了大量的研究，取得了非常豐富的研究成果。以色列數(shù)學(xué)家謝拉赫(S.Shelah)在這方面的成就舉世矚目。他引入正常力迫法并且證明了許多迭代力迫法的保持定理，謝拉赫還用他的理論解決了一大批著名的數(shù)學(xué)問題，如拓?fù)鋵W(xué)中的P點(diǎn)存在性問題，無限交換群中的懷特海問題等，目前已被應(yīng)用于遞歸論、超限算術(shù)、無窮組合論、一般拓?fù)?、測(cè)度論、泛代數(shù)、模型論等眾多領(lǐng)域，是迄今為止獲得相對(duì)相容性結(jié)果的主要方法1。