[科普中國]-相軌

相軌是泛函微分方程的重要概念。與常微分方程一樣，由抽象空間中的過程依次定義相軌及其極限集。

簡介相軌是泛函微分方程的重要概念。與常微分方程一樣，由抽象空間中的過程依次定義相軌及其極限集。

設u是X上的一個過程，則對每一個(σ,x)∈R×X，稱集τ+(σ,x)={(σ+t,U(σ,t)x)|t∈R+}為過(σ,x)∈R×X的軌道，稱集γ+(σ,x)={U(σ,t)x|t∈R+}為過(σ,x)的相軌。

性質(zhì)若H?X，則

若{Tkx|k=0,1,2,...}是一個離散動力系統(tǒng)，則過x∈X的相軌為γ+(x)={Tkx|k=0,1,2,...}。

若u是X上的ω周期過程，則軌道τ+(σ+s,x)是軌道τ+(σ,x)沿實數(shù)軸做長度為kω的平移，相軌γ+(σ+kω,x)=γ+(σ,x)對任意整數(shù)k成立。若u是X上的動力系統(tǒng)，則軌道τ+(σ+s,x)是軌道τ+(σ,x)沿實軸做長度為s的平移且對?σ∈R，γ+(σ,x)=γ+(0,x)=γ+(x)。

極限集設u是X上的一個過程，則集合分別稱為相軌Y+(σ,x)的ω極限集和Y-(α,x)的α極限集，其中Y+(σ,x)={U(σ,t)x|t∈R+}，Y-(α,x)={U(σ,t)x|t∈R-}。

若Y+(σ,x)是予緊的，則ω(σ,x)存在，非空，單連通而且是緊的，并且dist(U(σ,t)x,ω(σ,x))→0(t→+∞)。同理，若Y-(σ,x)是予緊的，則α(σ,x)存在，非空，單連通而且是緊的，當t→-∞時dist(U(σ,t)x,α(σ,x))→0。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡啟洲 - 副教授 - 南京理工大學