[科普中國]-整閉整環(huán)

整閉整環(huán)(integrally closed domain)亦稱正規(guī)環(huán)，是刻畫戴德金整環(huán)的重要概念，若整環(huán)R在它的商域中整閉，稱R為整閉整環(huán)。例如，單一分解環(huán)、賦值環(huán)均是整閉整環(huán)，整閉性是局部性質(zhì)1。

基本介紹命題1令是環(huán)，在上整。

i) 如果b是B的理想，，那么在上整。

ii) 如果S是A的乘法封閉子集，那么在上整。

命題(1)的ii)可以加強為：

命題2 令是環(huán)，C是A在B中的整閉包，令S是A的一個乘法封閉子集，那么是在中的整閉包。

定義 一個整環(huán)叫作整閉的(沒有限制條件)，如果它在它的分式域中是整閉的。例如，是整閉的，任何唯一因子分解整環(huán)都是整閉的，特別，域上的多項式環(huán)是整閉的2。

相關性質(zhì)整閉性是局部性質(zhì)：

命題3 令A是一個整環(huán)，那么下列斷言是等價的：

i) A是整閉的；

ii) 對每個素理想是整閉的；

iii)對每個極大理想是整閉的。

引理1 令C是A在B中的整閉包，表示在C中的擴理想，那么在B中的整閉包是的根(因此在加法和乘法之下是封閉的)。

命題4 令是整環(huán)，A是整閉的，在A的理想上整，那么在A的分式域K上代數(shù)，而且如果在K上的極小多項式是，那么位于中。

定理(“下降定理”)令是整環(huán)，A是整閉，B在A上整，令是A的素理想鏈， 是B的素理想鏈，使得，那么鏈可以擴充為鏈，使得。

命題5令A是一個整閉的整環(huán)，K是它的分式域，L是K的一個有限可分代數(shù)擴張，B是A在L中的整閉包，那么存在L在K上的基，使得。

Dedekind環(huán)稱環(huán)A為Dedekind環(huán)是說A滿足下面的條件(1)一(3)3。

(1) A為Noether環(huán)；

(2) A為整閉整環(huán)；

(3) 除0以外的A的素理想(ideal)均為極大理想。

這里我們來解釋一下所用術語的意思。A為Noether環(huán)是說A滿足下述條件(1)。

(1) A的任意理想均為有限生成。

這個條件與下述(2)一(4)中任一個均等價。

(2) 設為A的理想的遞增序列，則存在N使得

(3) 設為A的理想組成的非空集合，則存在屬于的滿足條件“如果且，則”．

(4) 有限生成A模的子模也是有限生成的。

稱A為整環(huán)是說A為非零環(huán)，而且滿足條件

對于，若則或或.

當A為環(huán)B的子環(huán)時，稱B的元x在A上整是說x滿足某個A系數(shù)方程

(，為自然數(shù))

環(huán)B中所有在A上整的元全體{ | 在A上整}構成了B的子環(huán)，稱之為A在B中的整閉包。當A為整環(huán)時，A在A的分式域中的整閉包被簡單地稱為A的整閉包，當A與A的整閉包相同時，則說A為整閉。

稱環(huán)A的理想為素理想是說，剩余環(huán)為整環(huán)，這個條件等價于滿足下面的條件(1)，(2)。

(1)若，則或或；

(2) 。

稱A的理想為極大是說剩余環(huán)為域，這個條件等價于滿足下面的條件(1)，(2)。

(1)包含的A的理想只有A或是自己；

(2)。

極大理想是素理想，反過來不成立，例如的素理想03。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學