[科普中國]-形式解陣

形式解陣是由矩陣表達(dá)的形式解。任何形式解陣必為一準(zhǔn)確解陣。換言之，形式解陣中的一切形式對數(shù)和均收斂。這個結(jié)果能使人們寫出方程的解結(jié)構(gòu)的一般形式，因而也就構(gòu)成線性方程冪級數(shù)解法的理論基礎(chǔ)。

簡介形式解陣是由矩陣表達(dá)的形式解。

形式解用形式級數(shù)法討論具有第一、第二類奇點的線性系統(tǒng)

可以得出很細(xì)致的結(jié)果。下列表達(dá)式稱為形式洛朗級數(shù)

（約定：除有限項外，z 的負(fù)冪項的系數(shù)均為零）。

下列表達(dá)式稱為形式對數(shù)和（ ，對充分大的 j+k）

其中 為形式洛朗級數(shù)。

顯然，形式對數(shù)和構(gòu)成一個復(fù)代數(shù) Λ ，它由形式洛朗級數(shù)，z 的冪以及 logz 的整冪生成。

形式洛朗級數(shù)以及形式對數(shù)和還分別具有形式導(dǎo)數(shù)如下

注意形式導(dǎo)數(shù)對復(fù)代數(shù) n 也是封閉的。

形式對數(shù)陣元素均為形式對數(shù)和的矩陣，稱為形式對數(shù)陣。例如，方程的右端即為一形式對數(shù)陣。一個形式地滿足方程c1>的形式對數(shù)陣，即稱為一形式解陣。

對于具有第一類奇點的上述方程，一個非常細(xì)致的結(jié)果是：任何形式解陣必為一準(zhǔn)確解陣。換言之，形式解陣中的一切形式對數(shù)和均收斂。這個結(jié)果能使人們寫出方程的解結(jié)構(gòu)的一般形式，因而也就構(gòu)成線性方程冪級數(shù)解法的理論基礎(chǔ)。

對第二類奇點的系統(tǒng)

（其中矩陣 B 在 z=0 處解析，ρ 為一正整數(shù)），卻并無相應(yīng)的結(jié)果；傳統(tǒng)的做法先得出一個形式解陣（這也是相當(dāng)困難的），然后研究其漸近性。以下僅寫出有關(guān)形式解陣的結(jié)果。對(2)，考慮奇點 ，則有如下結(jié)果：對于系統(tǒng)

其中 r 為非負(fù)整數(shù)，陣 A(z) 在的鄰域內(nèi)為 z-1的收斂冪級數(shù)

若 。

有相異本征值，則系統(tǒng)存在下面形狀的形式解陣，其中陣 R 為對角陣，陣 P 與 Q 分別有形 （P0 為非奇陣，即 )，

且各 均為對角陣，Q0與A0有相同本征值。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)