[科普中國(guó)]-仿射包

基本介紹

仿射包(affine hull)是由實(shí)線性空間中的集合所生成的仿射集，設(shè)A為實(shí)線性空間X中的集合，那么包含A的最小仿射集稱為A的仿射包。它是所有包含A的仿射集的全體的交集，也是A中的元素的不斷用直線連結(jié)后的元素全體，A的仿射包通常記為aff A。

仿射包(affine hull )是指由一個(gè)點(diǎn)集導(dǎo)出的一類點(diǎn)集。對(duì)于En中的子集A，A的仿射包，記為Aff A，為A的任意有限多個(gè)元素x1，x2，…，xk的仿射組合

構(gòu)成的集合。一個(gè)線性組合

稱為仿射組合，若系數(shù)αi (i=1，2，…，k)滿足

當(dāng)A={x1，x2}時(shí)，Aff A為通過x1，x2的直線；當(dāng)A={x1，x2，x3}時(shí)，Aff A為通過x1，x2，x3的平面2。

n 維歐氏空間Rn中的仿射集M 指的是具有x+S 形式的集合，其中x 是某個(gè)向量，而S 是由M 唯一確定的一個(gè)子空間，并稱為平行于M的子空間。換言之，一個(gè)集合M 稱為是仿射的，如果它包含所有穿過滿足x，y∈M 且x≠y 條件的點(diǎn)對(duì)x，y 的直線。如果X 是Rn的子集，X 的仿射包(affine hull)，記作aff(X)，是指包含X 的所有仿射集的交集。注意aff(X) 本身是仿射集并且它包含conv(X)，aff(X) 的維數(shù)定義為平行于aff(X) 的子空間的維數(shù)?？梢宰C明：aff(X)=aff(conv(X))=aff(cl(X))，進(jìn)而凸集C 的維數(shù)定義為它的仿射包aff(C) 的維數(shù)。

相關(guān)概念凸包令X 為n 維歐氏空間Rn的非空子集，集合X 的凸包(convex hull)，記作conv(X)，是指包含X的所有凸集合的交集，并且該集合是凸集X 的元的凸組合****(convex combination) 是具有 形式的向量，其中m 為正整數(shù)， 屬于X,而 是標(biāo)量，并滿足

條件。注意凸組合屬于conv(X) 。對(duì)于任意的凸組合以及在conv(X)上為凸的函數(shù) 我們有

這個(gè)關(guān)系是有名的Jensen 不等式的特例，Jensen 不等式在應(yīng)用數(shù)學(xué)和概率論中有著廣泛的應(yīng)用3。

仿射集設(shè)L是V的一個(gè)線性子空間， ,則L沿 的平移 稱為V的一個(gè)仿射集(affine set)。

仿射集 的維數(shù)等于線性子空間L的維數(shù)，即dim( 。

設(shè)中所有包含A的仿射集之交稱為A的仿射包(affine hull )，記為aff(A).A的維數(shù)定義為aff(A)的維數(shù)，即dim(A)=dim(aff( A))4。

仿射組合設(shè)稱為的仿射組合4。

相關(guān)性質(zhì)定理定理1設(shè) 則M是仿射集等價(jià)于M包含通過任意兩點(diǎn) 的直線，即

推論1 均為仿射集，則交集是仿射集。

推論2若M是仿射集，則M必為凸集。

定理2設(shè)則A的仿射包aff(A)等于A 中元素的有限仿射組合的全體4。