[科普中國]-角微商

設(shè)D是復(fù)平面上由光滑簡單閉曲線所圍成的區(qū)域，P是D的邊界上的一個(gè)點(diǎn)，考慮以P 為頂點(diǎn)其兩邊的接近頂點(diǎn)的部分都包含在D內(nèi)的角域，則通過這樣的角域到達(dá)點(diǎn)P的曲線，稱為以P為終點(diǎn)的斯****托爾茨路徑(得名于奧地利數(shù)學(xué)家斯托爾茨(Otto Stolz，1842-1905)。設(shè)復(fù)值函數(shù)w= f(z)在區(qū)域|z|0(Re表示復(fù)數(shù)的實(shí)部) 等情形，可以同樣地定義角微商1。

基本介紹設(shè)在內(nèi)全純，如果沿以單位圓周上的點(diǎn)為終點(diǎn)的Stolz道路時(shí)，一致地有，且極限存在，則稱D為在處的角微商(angular derivative)。

在域是半平面的情形，對(duì)虛軸上的點(diǎn)也可同樣地定義角微商。但是，當(dāng)時(shí)，在上式中要用代替，而當(dāng)時(shí)，要用代替，在后面這種情形，Stolz道路理解為包含于角域內(nèi)的趨于的道路。角微商的研究由G.Julia(1920)，J.Wolff(1926)開始，而由Carathéodory(1929)，E.Landau-G，Valiron(1929)推進(jìn)2。

相關(guān)結(jié)論關(guān)于角微商的基本定理可敘述如下：若在內(nèi)全純的函數(shù)滿足，則存在常數(shù)，使當(dāng)z沿Stolz道路趨于時(shí)，一致地有和；且對(duì)任意的正整數(shù)p，對(duì)于的p階導(dǎo)數(shù)，還一致地成立。此外，在內(nèi)，處處成立。單位圓的情形也有類似的定理。

對(duì)于保角映射理論，研究把平面上的單位圓(或半平面)D映射到平面的單連通域B上的函數(shù)，在D的邊界上的一點(diǎn)處具有非零的有限角微商的條件，也即在邊界上兼有保角性和線素比不變性的條件，是重要的。Carathéodory指出，使這一點(diǎn)成立的一個(gè)充分條件是：存在分別在B的外部和內(nèi)部的兩個(gè)圓周，它們?cè)贐的邊界點(diǎn)處互相外切或內(nèi)切。接著，L.Ahlfors利用關(guān)于帶形域的畸變定理，導(dǎo)出了角微商存在的充分必要條件，Wolff在保角映射的迭代的研究中應(yīng)用了角微商2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)