[科普中國]-麥基空間

概念

麥基空間(Mackey space)是一類局部凸空間。設(shè)(X，Y)為對(duì)偶線性空間，在Y的每個(gè)弱緊凸集上一致收斂的拓?fù)涫且环N可允許拓?fù)洌Q為X上的麥基拓?fù)?，記為?X，Y)。X上一個(gè)局部凸拓?fù)涑蔀橄嗳萃負(fù)涞某浞直匾獥l件是它比弱拓?fù)洇?X，Y)強(qiáng)，而比τ(X，Y)弱。麥基拓?fù)涫亲顝?qiáng)的相容拓?fù)?。原來的拓?fù)渑c麥基拓?fù)洇?E，E′)相同的局部凸空間E稱為麥基空間。擬桶型空間是麥基空間。

拓?fù)渚€性空間拓?fù)渚€性空間是泛函分析的重要分支，又稱之為拓?fù)湎蛄靠臻g，它是具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的線性空間，是賦范線性空間概念的推廣。

20世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家弗雷歇在引入距離空間，并用距離概念來統(tǒng)一過去分析學(xué)中的許多重要收斂時(shí)，就知道[a，b]上一列函數(shù)的“點(diǎn)點(diǎn)收斂”概念是不能用距離收斂來描述的。20世紀(jì)30年代以來，泛函分析中大量應(yīng)用弱收斂、弱拓?fù)?，它們都不能用距離來描述。這就很自然地把賦范線性空間理論發(fā)展成更一般的拓?fù)渚€性空間理論，其中最主要的成就是局部凸拓?fù)渚€性空間理論。這一分支的發(fā)展是與一般拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展緊密聯(lián)系在一起的。拓?fù)鋵W(xué)方法在這里發(fā)揮了極其重要的作用，法國數(shù)學(xué)家勒雷和波蘭數(shù)學(xué)家紹德爾所推廣的不動(dòng)點(diǎn)定理就是有力的例證之一。1935年以后，經(jīng)過十多年的努力，這一分支終于形成，它的許多結(jié)果不僅在泛函分析中有著廣泛的應(yīng)用，而且為其他分析學(xué)科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

局部凸空間局部凸空間是最重要的一類拓?fù)渚€性空間。設(shè)E是拓?fù)渚€性空間，如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基，就稱E是局部凸的拓?fù)渚€性空間，簡稱局部凸空間，而E的拓?fù)浞Q為局部凸拓?fù)洹Ａ阍拿總€(gè)均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函pV(x)是E上的連續(xù)半范數(shù)。反之，設(shè){pλ|λ∈Λ}是E上一族半范數(shù)，E上使pλ(λ∈Λ)均為連續(xù)的最弱拓?fù)涫蔷植客沟模伊阍木馔灌徲蚧上旅嫘问降募M成：1

這個(gè)局部凸拓?fù)浞Q為由半范數(shù)族{pλ}確定的局部凸拓?fù)?。如果?duì)任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使pλ(x)≠0，則{pλ|λ∈Λ}確定的局部凸拓?fù)涫呛浪苟喾蛲負(fù)?。通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間。E中的定向半序點(diǎn)列{xα}收斂于x∈E等價(jià)于對(duì)每個(gè)λ∈Λ，pλ(xα-x)→0。設(shè)E1是由另一半范數(shù)族{qβ}確定的局部凸空間，則使線性映射T：E→E1連續(xù)的充分必要條件是，對(duì)任意的qβ，總存在有限個(gè)λ1，λ2，…，λn∈Λ和常數(shù)c，使不等式

對(duì)一切x∈E成立。

局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據(jù)哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空間上存在足夠多的非零連續(xù)線性泛函。正因?yàn)槿绱?，局部凸空間理論成為拓?fù)渚€性空間理論中最重要的部分。

關(guān)于局部凸空間理論的發(fā)展大約是始于迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)和施瓦茲(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一個(gè)主要推動(dòng)力是分布理論，即廣義函數(shù)理論。2

線性空間的對(duì)偶滿足一定條件的一對(duì)線性空間。同一數(shù)域K(實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域)上的線性空間X，Y，如果由X×Y到K的雙線性泛函〈·，·〉滿足下述分離公理：

1.若對(duì)每個(gè)y∈Y，滿足〈x，y〉=0，則x=0;

2.若對(duì)每個(gè)x∈X，滿足〈x，y〉=0，則y=0;

那么X和Y稱為互為對(duì)偶的線性空間。亦稱Y(或X)是X(或Y)的對(duì)偶。

設(shè)X是線性空間，X是X上的線性泛函全體，如果Y?X，且Y在X上是全的(即若x≠0，則必存在y∈Y使〈x，y〉=y(x)≠0)，則(X，Y)按雙線性泛函〈x，y〉=y(x)成為對(duì)偶，實(shí)際上任何對(duì)偶線性空間(X，Y)總可以表達(dá)為上述形式。如果E是局部凸空間，E′(或E)是E上的連續(xù)線性泛函全體，則(E，E′)稱為自然對(duì)偶。在線性空間的對(duì)偶概念基礎(chǔ)上所形成的對(duì)偶理論是局部凸空間理論的中心內(nèi)容，它也是把局部凸空間和它的共軛空間放在相對(duì)稱的地位來加以研究的。

可允許拓?fù)淇稍试S拓?fù)涫且环N局部凸拓?fù)洹ＴO(shè)(X，Y)是對(duì)偶線性空間，Y是Y中的有界集族，且并∪{A|A∈Y}的線性包是Y，即Y是∪{A|A∈Y}張成的線性空間，對(duì)每個(gè)A∈Y，定義半范數(shù)：

pA(x)=sup |〈x，y〉|，

則由半范數(shù)族{pA(x)|A∈Y}確定的X上局部凸拓?fù)銽Y稱為關(guān)于對(duì)偶線性空間(X，Y)的一個(gè)可允許拓?fù)洌蛟诩怸上的一致收斂拓?fù)?，而相?yīng)的有界集族Y稱為可允許集族。令F是Y中有限集全體形成的集族，則有TF=σ(X，Y)，因而弱拓?fù)涫强稍试S的。3