[科普中國]-桶型空間

概念

桶型空間(barreled space)是一類局部凸空間。設(shè)E是局部凸空間，E中的吸收的均衡凸閉集稱為桶集。在序列完備空間中，因而在有界完備空間中，桶集吸收每個有界集。如果局部凸空間E的每個桶集都是零元的鄰域，則E稱為桶型空間。E成為桶型空間的充分必要條件是每個下半連續(xù)的半范數(shù)必是連續(xù)的。桶型空間的研究與一致有界定理在拓?fù)渚€性空間中的推廣有密切的聯(lián)系。1

拓?fù)渚€性空間拓?fù)渚€性空間是泛函分析的重要分支，又稱之為拓?fù)湎蛄靠臻g，它是具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的線性空間，是賦范線性空間概念的推廣。

20世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家弗雷歇在引入距離空間，并用距離概念來統(tǒng)一過去分析學(xué)中的許多重要收斂時，就知道[a，b]上一列函數(shù)的“點點收斂”概念是不能用距離收斂來描述的。20世紀(jì)30年代以來，泛函分析中大量應(yīng)用弱收斂、弱拓?fù)洌鼈兌疾荒苡镁嚯x來描述。這就很自然地把賦范線性空間理論發(fā)展成更一般的拓?fù)渚€性空間理論，其中最主要的成就是局部凸拓?fù)渚€性空間理論。這一分支的發(fā)展是與一般拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展緊密聯(lián)系在一起的。拓?fù)鋵W(xué)方法在這里發(fā)揮了極其重要的作用，法國數(shù)學(xué)家勒雷和波蘭數(shù)學(xué)家紹德爾所推廣的不動點定理就是有力的例證之一。1935年以后，經(jīng)過十多年的努力，這一分支終于形成，它的許多結(jié)果不僅在泛函分析中有著廣泛的應(yīng)用，而且為其他分析學(xué)科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

局部凸空間局部凸空間是最重要的一類拓?fù)渚€性空間。設(shè)E是拓?fù)渚€性空間，如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基，就稱E是局部凸的拓?fù)渚€性空間，簡稱局部凸空間，而E的拓?fù)浞Q為局部凸拓?fù)?。零元的每個均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函pV(x)是E上的連續(xù)半范數(shù)。反之，設(shè){pλ|λ∈Λ}是E上一族半范數(shù)，E上使pλ(λ∈Λ)均為連續(xù)的最弱拓?fù)涫蔷植客沟模伊阍木馔灌徲蚧上旅嫘问降募M成：

這個局部凸拓?fù)浞Q為由半范數(shù)族{pλ}確定的局部凸拓?fù)?。如果對任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使pλ(x)≠0，則{pλ|λ∈Λ}確定的局部凸拓?fù)涫呛浪苟喾蛲負(fù)?。通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間。E中的定向半序點列{xα}收斂于x∈E等價于對每個λ∈Λ，pλ(xα-x)→0。設(shè)E1是由另一半范數(shù)族{qβ}確定的局部凸空間，則使線性映射T：E→E1連續(xù)的充分必要條件是，對任意的qβ，總存在有限個λ1，λ2，…，λn∈Λ和常數(shù)c，使不等式：

對一切x∈E成立。

局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據(jù)哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空間上存在足夠多的非零連續(xù)線性泛函。正因為如此，局部凸空間理論成為拓?fù)渚€性空間理論中最重要的部分。

關(guān)于局部凸空間理論的發(fā)展大約是始于迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)和施瓦茲(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一個主要推動力是分布理論，即廣義函數(shù)理論。

完備空間完備空間或者完備度量空間是具有下述性質(zhì)的空間：空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內(nèi)。以有限維空間來說，向量的范數(shù)相當(dāng)于向量的模的長度。但是在有限維歐式空間中還有一個很重要的概念—向量的夾角，特別是兩個向量的正交。內(nèi)積空間是特殊的線性賦范空間，在這類空間中可以引入正交的概念以及投影的概念，從而在內(nèi)積空間中建立起相應(yīng)的幾何學(xué)。用內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)來定義距離，Banach空間就成為了希爾伯特空間。

對任一度量空間M，我們可以構(gòu)造相應(yīng)的完備度量空間M'（或者表示為），使得原度量空間成為新的完備度量空間的稠密子空間。M'具備以下普適性質(zhì)：若N為任一完備度量空間，f為任一從M到N的一致連續(xù)函數(shù)，則存在唯一的從M'到N的一致連續(xù)函數(shù)f'使得該函數(shù)為f的擴(kuò)展。新構(gòu)造的完備度量空間M'在等距同構(gòu)意義下由該性質(zhì)所唯一決定，稱為M的完備化空間。

以上定義是基于M是M'的稠密子空間的概念。我們還可以將完備化空間定義為包含M的最小完備度量空間?？梢宰C明，這樣定義的完備化空間存在，唯一（在等距同構(gòu)意義下），且與上述定義等價。

對于交換環(huán)及于其上的模，同樣可以定義相對于一個理想的完備性及完備化。2

范數(shù)設(shè)E為R上或C上的向量空間。 x→‖x‖為E上的半范數(shù)，若E的向量x為零的充分必要條件是‖x‖=0則這個半范數(shù)叫做E上的范數(shù)。

正實數(shù)‖x‖叫做向量x的范數(shù)。從E×E到R+中使E之任一向量偶(x，y)對應(yīng)正實數(shù)‖x-y‖的映射d是E上的距離。

對應(yīng)于范數(shù)的距離具有下列兩條性質(zhì)：

——對E的任一向量偶(x，y)及任一純量α，

d(αx，αy)=|α|·d(x，y)(齊性)；

——對E之向量的任一三元組(x，y，z)，

d(x+z，y+z)=d(x，y)

半范數(shù)半范數(shù)是范數(shù)的一種推廣。設(shè)X是線性空間，p(·)是X上的實值函數(shù)，滿足：

1.p(x)≥0(x∈X);

2.p(αx)=|α|p(x)(α為數(shù)，x∈X);

3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X);

則稱p(x)是x的半范數(shù)。通常也將向量x的半范數(shù)記為‖x‖，而稱(X，‖·‖)為賦半范線性空間，簡稱賦半范空間。設(shè)p(·)是X上的半范數(shù)，令E={x|p(x)=0}，則E是X的線性子空間。如果在商空間X/E上規(guī)定‖‖=p(x)，則‖·‖是X/E上的范數(shù)，稱為由半范數(shù)p(·)導(dǎo)出的范數(shù)。半范數(shù)這個概念在拓?fù)渚€性空間理論中扮演著重要的角色，是處理一類特殊凸集的解析工具。3