[科普中國]-實域

設F是任意域；以0，1分別表示它的零元和乘法單位元。若-1不能表作F中的平方和，就稱F為實域（或者形式實域）。常見的有理數(shù)域Q和實數(shù)域R，都是這個意義下的實域；但復數(shù)域C以及有限域，都不是實域1。

基本介紹實域(real field)亦稱形式實域，是與序域密切相關的一種域。一個域F，若在其中不存在形式如

的等式，此處 ，則稱F是實域(或者形式實域)。序域都是實域，反之，實域一定是可序域。因此，序域理論就是實域理論。實域理論是阿廷(Artin，E.)和施賴埃爾(Schreier，O.)于1926年首先建立的，阿廷在這一理論的基礎上，成功地正面解答了希爾伯特第17問題，實域理論又是近20年來蓬勃興起的實代數(shù)幾何的基礎2。

相關概念與定理對于F中任何子集P，今規(guī)定以下記法

定義1 設P為F的子集，如果滿足條件：

(1) ；

(2) ； （1）

(3) ，

則稱P是F的一個正錐。1

當P是F的正錐時，從上述條件不難得知 ；以及對于任何 ，皆有 。從F的正錐P，可以定出F中一個二元關系 如下：

當且僅當 （2）

從(1)式可知 應滿足以下的條件：

(1) ；

(2) 對于任何二元素 ，必有 ，或者 ；

(3) 由 和 ，得到 ； （3）

(4) 由 和 ，得到 ；

(5) 由 有 ；

(6) 由 和 ，得到 。

當 與 同時成立時，我們簡記作 。

如果以P記 ，則 當且僅當 。

我們稱≤為P所定的序關系。一般而言，任何一個定義在F上，且滿足(3)的二元關系≤，都可稱作F的序關系。當給定了F的一個序關系≤，我們也可以反過來在F上定出正錐。令

容易驗知，這個P滿足(1)的條件，所以是個正錐；而且，由它所定的序關系 ，正是事先所給的≤。這個事實表明，域的正錐和序關系，二者是可以相轉(zhuǎn)換的。因此我們說，正錐P或者序關系 ，給出F的一個序；而且我們逕用P同時表示正錐和由它給定的序（有時也用序關系的符號≤）。

一個在其中可以定出序的域，稱作可序的，或者可序域，可序域一般可以有許多序，當我們特別取定F的某個序P時，就稱F為序域，記以(F，P)，或者(F，≤)。在可序域中，不同的序之間，不存在集包含關系（作為正錐而言）。這是下述引理所指出的：

引理1 設 是F的兩個序，若有 ，則應用 。

命題1 可序域必定是實域；可序域的特征只能是0。

為了進一步闡明可序域與實域的關系，現(xiàn)在再引進一個概念：

定義2 設Q是F的一個子集。若有：

(1) ；

(2) ； （4）

(3) ；

則稱Q是F的一個亞正錐，或者說，Q給出F的一個亞序。

以下為簡便計，也逕稱Q為F的亞序；此時又稱 為一個亞序域。從定義立即知道 ；并且，亞序域是實域，反之，當F是實域時， ；此時 ；滿足條件(4)。因此， 是F的一個亞序，又按集包含關系， 是最小的亞序，所以也稱作F的弱亞序。實域，可以作為亞序域 。

與序的情形不同，在實域的亞序之間，可以有集包含關系存在，今有：

引理2 F中按集包含關系的極大亞序，就是F的一個序。

當F是實域時，它有弱亞序，通過Zorn引理的論斷，F(xiàn)有極大亞序，再按上述引理，就得到：

命題2 實域一定是可序的。

由命題1和2，即得：

定理1 F成為實域，當且僅當F是個可序域。

引理2 尚可作進一步的強化如下：

引理3設(F，Q)是個亞序域， 。于是存在F的某個序P，使得有 ，以及 。

我們稱滿足 的序P為亞序域(F，Q)的一個序，從上述引理立即得到：

定理2 對于亞序域(F，Q)，等式

成立，其中P遍取(F，Q)所有的序。

由于實域F可作為亞序域 ，故有

推論（阿廷定理） 對于實域F，等式

成立，其中P取遍F所有的序。

在序域(F，P)中，可以引入一些與通常相類似的概念，對于元素 ，今規(guī)定它的絕對值，如下

我們稱為(F，P)中的正元素；為負元素。對于亞序域(F，Q)，據(jù)定理2，元素屬于(F，Q)的每個P。因此，可稱它為(F，Q)的全正元。特別在F為實域時，它的全正元是屬于每個正錐的非零元，此時阿廷定理可以陳述如下：實域F中的元素，成為F的全正元，當且僅當a可表示成F中的平方和。

最后還應指出，(6)的左邊對于任何域都是有意義的。如果F不是實域，同時它有特征≠2，則任何都可以表如

由于F不是實域，應有，以此代入上式，得到a的一個平方和表式，即。

把序和亞序的概念推廣到交換環(huán)上，現(xiàn)在設A是一個帶有單位元素1的交換環(huán)；以記A中由所有的有限平方和所成的子集，與域的情形一樣，我們稱A中滿足定義2的子集Q為A的一個亞正錐，或者逕稱作A的亞序，當時，本身就是A的一個亞序。這個亞序也稱作A的弱亞序，就環(huán)的情形而論，今有一個與引理2相類似的結論：

引理4 對于A的任何一個給定的亞序 ，必然存在亞序Q，滿足 ，以及

這里J是A的一個素理想。

根據(jù)這個引理，我們把滿足上式的亞序稱作交換環(huán)A的序；又稱素理想J為序Q的支柱，記作 。于是得到了：

命題3 交換環(huán)A的任何一個亞序，都可以擴大成序，其支柱是A中的素理想1。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學