[科普中國]-拓?fù)溆?

概念

拓?fù)溆?topological field)是具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的域。若F是一個(gè)域，同時(shí)為一個(gè)拓?fù)淇臻g，而且F中的代數(shù)運(yùn)算在拓?fù)淇臻gF中是連續(xù)的，即：對任意的a，b∈F，及a-b，ab的任意鄰域W，W′，存在a，b的鄰域U，V使得

當(dāng)a≠0時(shí)，對a的任一鄰域W，存在a的鄰域U，使得UW，則稱F是拓?fù)溆?。亨澤?Hensel，K.)于1904年發(fā)表的有關(guān)p進(jìn)數(shù)域的論文被認(rèn)為是有關(guān)拓?fù)溆虻淖钤绲难芯俊?/p>

拓?fù)渫負(fù)涫羌仙系囊环N結(jié)構(gòu)。設(shè)T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬于T;1

2.T中任意兩個(gè)成員的交屬于T;

3.T中任意多個(gè)成員的并屬于T;

則T稱為X上的一個(gè)拓?fù)洹＞哂型負(fù)銽的集合X稱為拓?fù)淇臻g，記為(X，T)。

設(shè)T1與T2為集合X上的兩個(gè)拓?fù)洹Ｈ粲嘘P(guān)系T1T2，則稱T1粗于T2，或T2細(xì)于T1。當(dāng)X上的兩個(gè)拓?fù)湎嗷ブg沒有包含關(guān)系時(shí)，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓?fù)涫亲罴?xì)的拓?fù)?，平凡拓?fù)涫亲畲值耐負(fù)洹?/p>

拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個(gè)集，在它的每一個(gè)點(diǎn)賦予一種確定的鄰域結(jié)構(gòu)便構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數(shù)學(xué)家弗雷歇于1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數(shù)學(xué)家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓?fù)淇臻g定義為一個(gè)集合，并使用了“鄰域”概念，根據(jù)這一概念建立了抽象空間的完整理論，后人稱他建立的這種拓?fù)淇臻g為豪斯多夫空間(即現(xiàn)在的T2拓?fù)淇臻g)。同時(shí)期的匈牙利數(shù)學(xué)家里斯還從導(dǎo)集出發(fā)定義了拓?fù)淇臻g。20世紀(jì)20年代，原蘇聯(lián)莫斯科學(xué)派的數(shù)學(xué)家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并在距離化問題上有重要貢獻(xiàn)。1930年該學(xué)派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規(guī)空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀(jì)30年代后，法國數(shù)學(xué)家又在拓?fù)淇臻g方面做出新貢獻(xiàn)。1937年布爾巴基學(xué)派的主要成員H.嘉當(dāng)引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質(zhì)的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結(jié)構(gòu)的概念，推廣了距離空間，還于1940年出版了《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》一書。1944年迪厄多內(nèi)引進(jìn)雙緊致空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學(xué)生們進(jìn)行了完整的研究。布爾巴基學(xué)派的《一般拓?fù)鋵W(xué)》亦對拓?fù)淇臻g理論進(jìn)行了補(bǔ)充和總結(jié)。

此外，美國數(shù)學(xué)家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結(jié)果。捷克數(shù)學(xué)家切赫建立起緊致空間的包絡(luò)理論，為一般拓?fù)鋵W(xué)提供了有力工具。他的著作《拓?fù)淇臻g論》于1960年出版。近幾十年來拓?fù)淇臻g理論仍在繼續(xù)發(fā)展，不斷取得新的成果。2

域設(shè)F是域K的子集，對于K的加法和乘法運(yùn)算，F(xiàn)也做成一個(gè)域，則稱F是K的一個(gè)子域，K是F的一個(gè)擴(kuò)域，記作K/F，稱K/F為一個(gè)域擴(kuò)張。設(shè)，E/F和K/E都是域擴(kuò)張，則稱E是K/F的一個(gè)中間域。設(shè)F是域K的子域，T是K的子集，K/F的含T的所有中間域的交仍是K/F的中間域，這個(gè)域記作F(T)，稱為F添加T所得到的擴(kuò)域，或稱T在F上生成的域。當(dāng)T= {t1，…，tn} 是K的有限子集時(shí)，記F(T)=F(t1，…，tn)，稱這個(gè)域是在F上有限生成的。特別地，添加一個(gè)元素t于F中而得到的擴(kuò)域F(t)稱為F的單擴(kuò)域。域F的擴(kuò)域K可以看成F上的向量空間，如果K在F上的維數(shù)是有限的，則稱K是F的有限次擴(kuò)域，K/F是有限次域擴(kuò)張。K在F上的維數(shù)記作〔K：F〕，稱為K在F上的次數(shù)。設(shè)E是域擴(kuò)張K/F的中間域，則〔K：F〕=〔K：E〕〔E：F〕。如果一個(gè)域沒有真子域，就稱為一個(gè)素域，在同構(gòu)的意義下，只有有理數(shù)域Q和以素?cái)?shù)p為模的剩余類環(huán)Z/(p)是素域。任何一個(gè)域F的一切子域的交F0是一個(gè)素域，如果F0≌Q，則稱F是特征零的，如果F0≌Z/(p)，則稱F是特征p的，F(xiàn)的特征記作CharF。設(shè)F是域K的子域，α∈K稱為F上的代數(shù)元，如果存在F上的非零多項(xiàng)式f(x)，使得f(α)=0，否則，則稱α是F上的超越元。設(shè)K/F是一個(gè)域擴(kuò)張，如果K的每個(gè)元都是F上的代數(shù)元，則稱K/F是代數(shù)擴(kuò)張，否則稱K/F為超越擴(kuò)張。設(shè)K/F是一個(gè)域擴(kuò)張，設(shè)A是K中在F上的代數(shù)元的全體，則A是K/F的中間域，稱F在K中的代數(shù)閉包。一個(gè)域K稱為是代數(shù)閉域，如果K〔x〕中每個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式在K中有一個(gè)根。域F的一個(gè)擴(kuò)域Ω稱為F的代數(shù)閉包，如果 (1)Ω是代數(shù)閉域;(2)Ω是F的代數(shù)擴(kuò)域。任何一個(gè)域都有一個(gè)代數(shù)閉包。設(shè)E，E′都是域F的擴(kuò)域，如果E，E′都域F的某個(gè)擴(kuò)域的子域，而且存在E到E′的同構(gòu)使F中的元不動(dòng) (稱為F-同構(gòu))，則稱E與E′在F上共軛，簡稱F-共軛。設(shè)E/F是一個(gè)域擴(kuò)張，如果E/F是代數(shù)擴(kuò)張，而且任意與E是F-共軛的域都等于E，則稱E/F是正規(guī)擴(kuò)張。設(shè)F是一個(gè)域，f(x)∈F[x]，degf(x)>0，如果K是F的擴(kuò)域，在K[x]中，f(x)=a(x-a1) …(x-an)，a∈F，a1，…，an∈K，而且K=F(a1，…，αn)，則稱K是f(x)在F上的一個(gè)分裂域。域F上的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式f(x)，如果在F的某個(gè)代數(shù)閉包Ω內(nèi)的根都是單根，則稱f(x)是可分的，否則就是不可分的。a是域F上的代數(shù)元，a滿足的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的最低的多項(xiàng)式稱為a的極小多項(xiàng)式。設(shè)K/F是一個(gè)代數(shù)擴(kuò)張，如果K的每個(gè)元素在F上的極小多項(xiàng)式都是可分的，則稱K/F是一個(gè)可分?jǐn)U張。只含有限個(gè)元素的域稱為有限域，有限域的特征必是某個(gè)素?cái)?shù)p。設(shè)F含有q個(gè)元素，F(xiàn)的素域p含有p個(gè)元素，[F： P] =f，則q=pf。兩個(gè)有限域同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的元素個(gè)數(shù)。設(shè)Fg是含有q個(gè)元素的有限域，F(xiàn)g的一切非零元素對于Fg的乘法做成q-1階循環(huán)群，從而有限域的有限次擴(kuò)域都是單擴(kuò)域。

人物簡介——亨澤爾德國數(shù)學(xué)家。生于柯尼斯堡(Konigsberg)，卒于馬爾堡(Marburg)。曾在波恩大學(xué)、柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，受到利普希茲、外爾斯特拉斯、克羅內(nèi)克等名師的指導(dǎo)。1884年獲哲學(xué)博士學(xué)位。1901年被聘為馬爾堡大學(xué)教授，并擔(dān)任德國著名數(shù)學(xué)雜志《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal für die reine undangewandte Mathematik) 的 編輯。1931年獲得奧斯陸(Oslo)大學(xué)授予的名譽(yù)博士學(xué)銜。亨澤爾在函數(shù)論、代數(shù)學(xué)、數(shù)論等方面都有重要貢獻(xiàn)。在函數(shù)論方面，所謂克羅內(nèi)克—亨澤爾法則提供了代數(shù)函數(shù)域的算術(shù)基礎(chǔ)。在代數(shù)學(xué)方面，他證明了矩陣的最小多項(xiàng)式的唯一性。他提出了P—進(jìn)數(shù)的概念，通過進(jìn)一步的工作，亨澤爾將P—進(jìn)數(shù)發(fā)展成一套系統(tǒng)的理論。P—進(jìn)數(shù)法則已成為解決代數(shù)數(shù)論問題的有效工具，在二次型、數(shù)域上的代數(shù)以及數(shù)論的研究中都得到了成功的運(yùn)用。亨澤爾的主要著作有《代數(shù)函數(shù)論》(Theorie der algebraischenFunktionen，1902)《代數(shù)數(shù)論》(Theorie der algebraischen Zahlen，1908)及《數(shù)論》(Zahlentheorie1913)等。3