[科普中國(guó)]-共軛域

共軛域(conjugate fields)是一種同構(gòu)擴(kuò)域。設(shè)L是域F的擴(kuò)域，E，E′為其兩個(gè)中間域，若存在一個(gè)F共軛映射σ使σ(E)=E′，則稱E與E′是F上在L內(nèi)的共軛域。此定義等價(jià)于：E與E′是F同構(gòu)的。

概念共軛域(conjugate fields)是一種同構(gòu)擴(kuò)域。設(shè)L是域F的擴(kuò)域，E，E′為其兩個(gè)中間域，若存在一個(gè)F共軛映射σ使σ(E)=E′，則稱E與E′是F上在L內(nèi)的共軛域。此定義等價(jià)于：E與E′是F同構(gòu)的。若α，β是F上同一既約多項(xiàng)式的根，則F(α)與F(β)是F上的共軛域，亦即存在F共軛映射σ使σ(α)=β，這時(shí)稱β與α是共軛元。1

域設(shè)P是一至少含有兩個(gè)元素的環(huán)，如果在P中乘法還具有下列性質(zhì)：

(1)有單位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，對(duì)所有的a∈P；

(2)有逆元素，即對(duì)p中每個(gè)非零元素a都有一元素a-1，使a-1a=aa-1=e；

(3)交換律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一個(gè)域。域有下列的基本性質(zhì)：

(1)域沒有零因子；

(2)若集F在兩個(gè) 二元運(yùn)算(加法和乘法)下滿足下列條件，則F為一個(gè)域：

①F是以零為單位元的加法群；

②由除零外的F的一切元組成的集在乘法下是一個(gè)交換群；

③乘法對(duì)加法是可分配的；

(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，并記作x=a/b；

(4)在F中，指數(shù)律成立；

(5)若把域F的單位元e的n倍ne記作n，則F中任一元a的n倍na就是n與a的積na。

域的擴(kuò)張域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個(gè)擴(kuò)張(或擴(kuò)域)，F(xiàn)稱為基域，常記為K/F。此時(shí)，K可以看成F上的向量空間。研究擴(kuò)域K(相對(duì)于基域F)的代數(shù)性質(zhì)，是域論研究的一個(gè)基本內(nèi)容。

若域E是F的擴(kuò)域，K是E的擴(kuò)域，則稱E是域擴(kuò)張K/F的中間域。若K/F是域擴(kuò)張，S是K的子集，且F(S)是K的含F(xiàn)與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴(kuò)域。當(dāng)S={α1，α2，…，αn}是有限集合時(shí)，F(xiàn)(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn于F的有限生成擴(kuò)域(或者F上的有限生成擴(kuò)張)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項(xiàng)式且g(α1，α2，…，αn)≠0。

由于這個(gè)原因，當(dāng)F(α1，α2，…，αn)關(guān)于F的超越次數(shù)≥1時(shí)，F(xiàn)(α1，α2，…，αn)也稱為F上的代數(shù)函數(shù)域。當(dāng)S={α}時(shí)，稱F(α)為F的單擴(kuò)張域，也稱本原擴(kuò)域。F的有限代數(shù)擴(kuò)域K是單擴(kuò)域的充分必要條件是，擴(kuò)域K與基域間存在有限個(gè)中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。2

同構(gòu)兩個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)(例如兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng))，當(dāng)它們的元素及各自所定義的運(yùn)算一一對(duì)應(yīng)，并且運(yùn)算結(jié)果也保持一一對(duì)應(yīng)，則稱這兩個(gè)系統(tǒng)同構(gòu)，記為≌。它們對(duì)于所定義的運(yùn)算，具有相同的結(jié)構(gòu)。例如，十進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)是同構(gòu)的。

建立同構(gòu)關(guān)系的映射，稱為同構(gòu)映射。例如，當(dāng)映射為一一映射，并且對(duì)應(yīng)元素關(guān)于運(yùn)算保持對(duì)應(yīng)時(shí)，就是同構(gòu)映射。

同構(gòu)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一。在很多情況，一個(gè)難題往往可以化成另一個(gè)同構(gòu)的、似乎與它不相關(guān)的、已經(jīng)解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數(shù)學(xué)發(fā)展得越來越復(fù)雜，但利用同構(gòu)概念，不僅使數(shù)學(xué)得到簡(jiǎn)化，而且使數(shù)學(xué)變得越來越統(tǒng)一。表面上似乎不同，但本質(zhì)上等價(jià)的結(jié)果，可以用統(tǒng)一的形式表達(dá)出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數(shù)學(xué)分支中與它同構(gòu)的幾十個(gè)假設(shè)，也同時(shí)得到了證明。

共軛群中一種重要的等價(jià)關(guān)系。設(shè)S，T是群G的兩個(gè)非空子集，H是G的子群，若存在H中元素g使得T=g-1Sg=S，則稱S和T關(guān)于H共軛，其中T=gSg={g-1sg|s∈S}稱為S按g的變形.若S為G的子群，T稱為S關(guān)于H的共軛子群；若S={s}為一個(gè)元的集合，則稱t=gsg為s關(guān)于H的共軛元。當(dāng)H=G時(shí)，通常就不加“關(guān)于G”這個(gè)修飾詞了。共軛關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。設(shè)S是群G的一個(gè)子集，H是G的一個(gè)子群，與S關(guān)于H共軛的所有子集組成的集合稱為S關(guān)于H的共軛類。當(dāng)S={s}為一個(gè)元素的集合，s關(guān)于G的共軛類是元素的集合，就簡(jiǎn)稱G(的元素)的一個(gè)共軛類。

共軛映射刻畫共軛域、共軛元的工具。若域F的擴(kuò)域K的代數(shù)閉包為Ω，則K到Ω內(nèi)的保持F中元不變的同態(tài)單射稱為K到Ω內(nèi)的F共軛映射。若記K到Ω內(nèi)的一切F共軛映射的個(gè)數(shù)為l(K/F)，則可以證明它與代數(shù)閉包Ω的選取無關(guān)。若K是F的代數(shù)擴(kuò)域，E為其中間域，則l(K/F)=l(K/E)·l(E/F)。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)