[科普中國(guó)]-共尾函子

共尾函子(final functor)是代數(shù)K理論中定義纖維范疇時(shí)用到的一類重要函子。它是一類特殊的保積函子。設(shè)(C，⊥)，(D，⊥)為帶積范疇，F(xiàn)：C→D為保積函子。若F(C)為D的共尾子范疇(即對(duì)任意A∈D，必有A′∈D與B∈C使得A⊥A′F(B))，則F稱為共尾函子。1

函子函子是范疇間的一類特殊映射。有些問題中需研究?jī)蓚€(gè)范疇間的聯(lián)系或通過這種聯(lián)系由一個(gè)范疇的性質(zhì)來推斷另一范疇的性質(zhì)，這就引出函子的概念。函子可看成范疇間的變換或同態(tài)，在范疇論中起著重要作用。若C，C′為兩個(gè)范疇，F(xiàn)：C→C′使：

1.C的對(duì)象都變成C′的對(duì)象，即A∈C，F(xiàn)(A)∈C′；

2.σ∈HomC(A，B)，σ都被F變成F(σ)∈HomC′(F(A)，F(xiàn)(B))；

3.F(στ)=F(σ)F(τ)對(duì)C中可合成態(tài)射σ，τ成立；

4.F(εA)=εF(A)，其中ε表恒等態(tài)射；

則稱F為C到C′的一個(gè)共變函子(亦稱協(xié)變函子)。若上述條件1，4不變而條件2，3分別改為：

2′.σ∈HomC(A，B)，有F(σ)∈HomC′(F(B)，F(xiàn)(A))；

3′. F(στ)=F(τ)F(σ)；1

則稱為C到C′的一個(gè)反變函子(亦稱逆變函子)。共變函子與反變函子又統(tǒng)稱為函子。但有時(shí)也將共變函子簡(jiǎn)稱函子。

纖維范疇纖維范疇是一個(gè)帶積合成范疇。它是由兩個(gè)帶積范疇及它們之間的保積函子定義的。利用它可得到K0群、K1群的有意義的正合列。設(shè)(C，⊥)，(D，⊥)為兩個(gè)帶積范疇，F(xiàn)：C→D為保積函子。定義一個(gè)新范疇ΦF如下：其對(duì)象類為{(M，N，α)|M，N∈C，α：F(M)F(N)}；(M，N，α)與(M′，N′，α′)間的態(tài)射集定義為：

{(β，γ)|β：MM′，γ：NN′使F(γ)α=α′F(β)};

態(tài)射合成法則為(β，γ)(β′，γ′)=(ββ′，γγ′);對(duì)象積法則為(M，N，α)⊥(M′，N′，α′)=(M⊥M′，N⊥N′，ψ(α⊥α′)ψ)，其中ψ為同構(gòu)F(X⊥Y)F(X)⊥F(Y)；

對(duì)象合成法則為：(M，N，α)°(N，P，β)=(M，P，βα)，

稱ΦF為C，D的纖維范疇。當(dāng)F為共尾函子時(shí)，有群正合列K1C→K1D→K0ΦF→K0C→K0D.當(dāng)R為交換環(huán)時(shí)，Pic RK0(R)/K0Φdet。

范疇論代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有各自的研究對(duì)象。例如，集合論研究集合與映射；線性代數(shù)研究線性空間與線性映射；群論研究群與群同態(tài)；拓?fù)鋵W(xué)研究拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射。在20世紀(jì)中期，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為有必要將各個(gè)領(lǐng)域中的研究對(duì)象各自合在一起成為一個(gè)整體，使之成為一種數(shù)學(xué)系統(tǒng)，這就是范疇思想。于是，所有的集合與映射組成集合范疇；所有的群與群同態(tài)組成群范疇。在各個(gè)范疇之間往往存在著內(nèi)在聯(lián)系與變換。例如，一個(gè)群模去其換位子群的商群(稱為交換化)得到一個(gè)交換群，從而交換化成為群范疇到交換群范疇的一個(gè)變換，且這個(gè)變換保持著群同態(tài)及其合成。事實(shí)上，這就是函子的思想.在域F上的線性空間范疇中，任一線性空間L必有惟一的對(duì)偶空間L=HomF(L，F(xiàn))，“*”可看成這個(gè)線性空間范疇到自身的一個(gè)變換。盡管當(dāng)L為有限維時(shí)L與L是同構(gòu)的(記這個(gè)同構(gòu)為τ：L→L)，但這個(gè)同構(gòu)不是“自然”的。即，若L1與L2間有一個(gè)同構(gòu)α：L1→L2，“*”誘導(dǎo)出L2到L1的一個(gè)同構(gòu)為α，但對(duì)L1中的元素x來說，τα(x)一般地并不等于ατ(x)。這就引起“自然性”的研究。艾倫伯格(Eilenberg，S.)與麥克萊恩(MacLane，S.)于1945年發(fā)表的論文《自然等價(jià)的一般理論》為范疇論的建立作出了奠基性的工作。

在某種意義上來說，范疇論提煉了數(shù)學(xué)(甚至其他學(xué)科)各分支的共性，是比集合論更高一個(gè)層次的數(shù)學(xué)公共語言與工具。它使數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的研究通過箭頭圖做了一致化與簡(jiǎn)單化的處理，更加顯示其本質(zhì)上的東西，同時(shí)使許多數(shù)學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)通過圖的泛性質(zhì)得到了深刻的刻畫。戈德門特(Godement，R.)于1958年將范疇論應(yīng)用到拓?fù)鋵W(xué)，埃雷斯曼(Ehresmann，C.)于1958年將范疇論應(yīng)用到微分幾何，格羅騰迪克(Grothendieck，A.)與迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)于1960年將范疇論應(yīng)用到代數(shù)幾何。現(xiàn)在，范疇論在上述學(xué)科及同調(diào)代數(shù)、代數(shù)K理論、模論、環(huán)論等學(xué)科中都得到了成功的應(yīng)用。應(yīng)用范疇論時(shí)，關(guān)鍵是先搞清研究問題以什么作對(duì)象，以什么作態(tài)射(參見“范疇”).研究不同范疇之間的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵在于找到適當(dāng)?shù)暮?范疇論的核心是函子理論。艾倫伯格與麥克萊恩為了搞清某些同構(gòu)(等價(jià))的“自然”變換之精確含義，于1945年引入范疇與函子的概念去定義自然變換?，F(xiàn)在，范疇論已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域(甚至已應(yīng)用到計(jì)算機(jī)科學(xué)等)，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)