[科普中國(guó)]-保閉族

保閉族(closure preserving family)是一類集族。設(shè)U為拓?fù)淇臻gX的子集族。若對(duì)于U的任意子族V，∪{W'|W∈V}為閉集，則稱U為X的保閉族。若U可以表示為可數(shù)個(gè)保閉族的并，則稱U為X的σ保閉族。

概念保閉族(closure preserving family)是一類集族。設(shè)U為拓?fù)淇臻gX的子集族。若對(duì)于U的任意子族V，∪{W'|W∈V}為閉集，則稱U為X的保閉族。若U可以表示為可數(shù)個(gè)保閉族的并，則稱U為X的σ保閉族。局部有限族必為保閉族。邁克爾(Michael，E.)用保閉族給出仿緊空間的充分必要條件。保閉族是邁克爾于1957年提出的。

集族集族是一種特殊的集合。以集合為元素的集合稱為集族。例如，集A的冪集P(A)是一個(gè)集族。P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。集族常用花體字母A，B，C等表示。取A為標(biāo)號(hào)集，A到集族A的一一對(duì)應(yīng)(雙射)為f：a→Aa，則集族A可記為{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。當(dāng)A為線性序集{…，a，…，b，…，c，…}時(shí)，集族{…，Aa，…，Ab，…，Ac，…}稱為集列。

集合是集合論研究的基本對(duì)象。指公理集合論系統(tǒng)中的個(gè)體。在公理集合論系統(tǒng)中，集合被作為原始概念引入，其性質(zhì)由系統(tǒng)的公理所界定。因此在不同的公理集合論系統(tǒng)中，集合的性質(zhì)及相互之間的關(guān)系也不同。如在ZFC公理系統(tǒng)中，集合具有下列最基本的性質(zhì)：

1.外延性.任何兩個(gè)具有相同元素的集合相等。

2.遺傳性.集合的任何元素仍是集合。

3.正則性.任何一個(gè)集合不屬于它本身。

在含原子的公理集合論系統(tǒng)中的集合不滿足遺傳性，在不含正則公理的公理集合論系統(tǒng)中，集合通常不具有正則性。在素樸集合論中，集合用概括原則定義，即為{x|p(x)}的形式，p(x)表示關(guān)于x的某個(gè)性質(zhì)。集合a={x|p(x)}意指?x(x∈a?p(x))。

局部有限族局部有限族是一類集族。設(shè)M為拓?fù)淇臻gX的子集族。若對(duì)于任意x∈X，存在x的鄰域V，使得V僅與M中有限個(gè)成員相交，則稱M為X的局部有限族。若M是可數(shù)個(gè)局部有限族的并集，則稱M為X的σ局部有限族。局部有限族的概念是亞歷山德羅夫(Александров，П.С.)于1924年引入的。

亞歷山德羅夫是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家。生于俄羅斯的博戈羅德斯克(Богородск)，1917年畢業(yè)于莫斯科大學(xué)。1921年起在莫斯科大學(xué)工作，1929年晉升為教授。1932—1964年，任莫斯科數(shù)學(xué)會(huì)主席。1953年被選為蘇聯(lián)科學(xué)院院士。1

亞歷山德羅夫是現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的奠基者之一。他的研究工作開始于集合論和函數(shù)論，后轉(zhuǎn)向拓?fù)鋵W(xué)。他和烏雷松(Урысон，П.С.)共同創(chuàng)立并發(fā)展了緊與列緊空間理論，引入了一系列基本概念和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，建立了本質(zhì)映射定理和同調(diào)維數(shù)論，并由此導(dǎo)出了一系列對(duì)偶性原理的基本規(guī)律。例如，他們得到的定理和性質(zhì)有：任何一個(gè)一般拓?fù)淇臻g都與一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形——多面體相近似；圖形與集合的拓?fù)湫再|(zhì)與其余集的拓?fù)湫再|(zhì)有關(guān)等。亞歷山德羅夫的著作有《組合拓?fù)鋵W(xué)》(1947)、《群論導(dǎo)引》(1951)、《非歐幾何是什么?》(1950)、《集與函數(shù)的泛論初階》(1948)、《拓?fù)鋵?duì)偶定理(第一部分)：閉集》等。他早年與霍普夫(Hopf，E.)合著的《拓?fù)鋵W(xué)》流傳很廣。

拓?fù)淇臻g歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個(gè)集，在它的每一個(gè)點(diǎn)賦予一種確定的鄰域結(jié)構(gòu)便構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇于1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國(guó)數(shù)學(xué)家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓?fù)淇臻g定義為一個(gè)集合，并使用了“鄰域”概念，根據(jù)這一概念建立了抽象空間的完整理論，后人稱他建立的這種拓?fù)淇臻g為豪斯多夫空間(即現(xiàn)在的T2拓?fù)淇臻g)。同時(shí)期的匈牙利數(shù)學(xué)家里斯還從導(dǎo)集出發(fā)定義了拓?fù)淇臻g。20世紀(jì)20年代，原蘇聯(lián)莫斯科學(xué)派的數(shù)學(xué)家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對(duì)緊與列緊空間理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并在距離化問(wèn)題上有重要貢獻(xiàn)。1930年該學(xué)派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的無(wú)窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規(guī)空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀(jì)30年代后，法國(guó)數(shù)學(xué)家又在拓?fù)淇臻g方面做出新貢獻(xiàn)。1937年布爾巴基學(xué)派的主要成員H.嘉當(dāng)引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質(zhì)的屬性顯示出來(lái)。韋伊提出一致性結(jié)構(gòu)的概念，推廣了距離空間，還于1940年出版了《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》一書。1944年迪厄多內(nèi)引進(jìn)雙緊致空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學(xué)生們進(jìn)行了完整的研究。布爾巴基學(xué)派的《一般拓?fù)鋵W(xué)》亦對(duì)拓?fù)淇臻g理論進(jìn)行了補(bǔ)充和總結(jié)。

此外，美國(guó)數(shù)學(xué)家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結(jié)果。捷克數(shù)學(xué)家切赫建立起緊致空間的包絡(luò)理論，為一般拓?fù)鋵W(xué)提供了有力工具。他的著作《拓?fù)淇臻g論》于1960年出版。近幾十年來(lái)拓?fù)淇臻g理論仍在繼續(xù)發(fā)展，不斷取得新的成果。

仿緊空間仿緊空間是一類重要的拓?fù)淇臻g。為了討論拓?fù)淇臻g的可度量化問(wèn)題，迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)于1944年引入仿緊空間的概念。設(shè)X為拓?fù)淇臻g。若X的任意開覆蓋都有局部有限的開覆蓋加細(xì)，則稱X為仿緊空間。緊空間是仿緊空間。度量空間也是仿緊空間。反之未必成立。仿緊空間是緊空間的一種最重要的推廣.對(duì)于這一類空間的研究，不僅從內(nèi)容上推廣了緊空間理論，而且較大地發(fā)展了覆蓋方法，有力地推動(dòng)了一般拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，特別是廣義度量空間理論和度量化問(wèn)題的廣泛進(jìn)展。另外，仿緊空間在微分流形、代數(shù)拓?fù)浜头汉治鲋幸灿兄匾膽?yīng)用。仿緊性具有閉遺傳性。仿緊T2空間的閉連續(xù)像是仿緊T2的。仿緊T2空間是全體正規(guī)空間。全體正規(guī)空間是仿緊空間。仿緊T2空間中的Fσ集是仿緊的。在完全映射下，仿緊空間的原像是仿緊的。仿緊空間是亞緊的、可數(shù)仿緊的、族正規(guī)的。可數(shù)緊的仿緊空間是緊空間.林德勒夫空間是仿緊的。斯通(Stone，A.H.)于1948年、邁克爾(Michael，E.)于1953年給出了仿緊性的幾個(gè)等價(jià)條件。森田紀(jì)一(Morita，K.)和玉野(Tamano，H.)于1960—1962年也分別給出了幾個(gè)等價(jià)條件。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)