[科普中國]-本原理想

概念

本原理想(primitive ideal)是與(右)本原環(huán)密切相關(guān)的一類理想。它可刻畫環(huán)的雅各布森根。設(shè)a是環(huán)R的理想，若R/a是本原環(huán)(左本原環(huán))，則稱a是R的本原理想(左本原理想)。本原理想也可由下面條件刻畫：環(huán)R的理想a是本原理想的充分必要條件是a為某既約右R模的零化子。另一個(gè)充分必要條件是對R的某極大模右理想I，a=(I∶R)={x∈R|RxI}。任何本原理想都是素理想。

環(huán)環(huán)是對并與差運(yùn)算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設(shè)F是Ω上的一個(gè)非空集類.如果它對集的并及差運(yùn)算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環(huán)。例如，若F是由實(shí)直線R上任意有限個(gè)左開右閉的有限區(qū)間的并集：

的全體構(gòu)成的集類，則F是R上的一個(gè)環(huán).環(huán)也是對于交與對稱差運(yùn)算封閉的集類，并按這兩種運(yùn)算成為布爾環(huán)。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾杰斯測度以及相應(yīng)的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類并研究其性質(zhì).環(huán)以及半環(huán)、σ環(huán)、代數(shù)、σ代數(shù)等重要集類正是為了這一目的而引入的。2

環(huán)論環(huán)論是抽象代數(shù)學(xué)的主要分支之一。它是具有兩個(gè)運(yùn)算的代數(shù)系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運(yùn)算，使得R中任意元a，b，c適合條件：

1.R對加法為交換群，稱為R的加法群，記為(R，+);

2.R對乘法適合結(jié)合律，即(R，·)是半群，稱為R的乘法半群;

3.乘法對加法的左、右分配律成立，即

a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，

(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);

則稱R為結(jié)合環(huán)，簡稱環(huán)(通常a·b寫為ab)。它是環(huán)論研究的主要對象。環(huán)論起源于19世紀(jì)關(guān)于實(shí)數(shù)域的擴(kuò)張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超復(fù)數(shù)系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)于1907年給出的結(jié)構(gòu)定理給出代數(shù)研究的模式，也成為環(huán)結(jié)構(gòu)研究的模式.20世紀(jì)20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環(huán)的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數(shù)結(jié)構(gòu)定理推廣到有極小條件的環(huán).同時(shí)，對非極小條件的環(huán)，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環(huán)理論，相繼蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)創(chuàng)立了賦值環(huán)，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環(huán)理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環(huán)理論。

20世紀(jì)40年代，根論迅速發(fā)展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)于1945年引入的被稱為雅各布森根的概念后，建立了本原環(huán)理論、半本原環(huán)的結(jié)構(gòu)定理與本原環(huán)的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環(huán)的理論。20世紀(jì)50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創(chuàng)立了根的一般理論，環(huán)論已趨完善。

本原環(huán)本原環(huán)是一類重要的環(huán)。研究雅各布森根時(shí)引入的，其后被廣泛討論與應(yīng)用。若環(huán)R有一個(gè)忠實(shí)右(左)R單模(即忠實(shí)既約右(左)R模)，則稱R為右(左)本原環(huán)。通常將右本原環(huán)簡稱本原環(huán)。一般說來，左本原環(huán)未必是本原環(huán)，但當(dāng)R有極小單側(cè)理想時(shí)，左本原性與本原性一致。任何本原環(huán)皆為素環(huán)。雅各布森(Jacobson，N.)引入本原環(huán)來代替有限條件下的單環(huán)，從而得出在沒有有限條件限制下的一般半單環(huán)的結(jié)構(gòu)定理，這是環(huán)論的重大發(fā)展。

雅各布森根雅各布森根是以右(左)擬正則性為根性質(zhì)的一種重要的根。設(shè)R是任意環(huán)，若R有本原理想，則環(huán)R的一切本原理想的交稱為R的雅各布森根，用J(R)表示。當(dāng)R無本原理想，規(guī)定J(R)=R，此時(shí)R稱為J根環(huán)(雅各布森環(huán))。雅各布森根還可以從多種角度描述：J(R)等于R的一切左本原理想的交，又等于R的最大的右擬正則理想，它包含R的一切右擬正則右理想，還等于R的最大左擬正則理想，它包含R的一切左擬正則左理想，同時(shí)，亦等于R的一切模的極大右理想的交，也等于R的一切模的極大左理想的交，又等于{x∈R|xa是右擬正則，對任意a∈R}。雅各布森根是雅各布森(Jacobson，N.)于1945年引入的。3

理想理想是集合論中的基本概念之一。設(shè)S為任意集合，若I?P(S)且滿足：

1.?∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y?S，X∈I，Y?X，則Y∈I;

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎每個(gè)分支中均有應(yīng)用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數(shù)上的理想即為集合上的理想的一種變體。設(shè)B為任意布爾代數(shù)，若B的一個(gè)子集I滿足：

1.0∈I，1?I(其中0，1分別為布爾代數(shù)B中的零元與么元);

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱I為B上的理想。

素理想素理想是一類特殊理想。它是整數(shù)環(huán)中素?cái)?shù)生成理想的推廣。設(shè)P是環(huán)R的理想，對R中任意理想A，B，若ABP必有AP或BP，則稱P為R的素理想。它等價(jià)于對x，y∈R，若xRyP則x∈P或y∈P.當(dāng)R是交換環(huán)時(shí)，P是R的素理想當(dāng)且僅當(dāng)對R中任意元素a，b，若ab∈P，則a∈P或b∈P。素理想在交換環(huán)的理想理論中有重要作用。若對任意環(huán)R，a，b∈R，由ab∈P得出a∈P或b∈P，則稱P為R的完全素理想。因此，對交換環(huán)來說，素與完全素概念是一致的。4