[科普中國]-n無撓環(huán)

n無撓環(huán)(n-torsion free ring)是一類特殊環(huán)。指環(huán)的加群(R，+)不含周期為n的元。即對任意x∈R，若nx=0，恒有x=0，則稱R是n無撓環(huán)。

概念n無撓環(huán)(n-torsion free ring)是一類特殊環(huán)。指環(huán)的加群(R，+)不含周期為n的元。即對任意x∈R，若nx=0，恒有x=0，則稱R是n無撓環(huán)。n無撓常是對無單位元的環(huán)而言，因?yàn)?，若R有單位元，且R的特征數(shù)為m，則對任意整數(shù)n，只要m不能整除n，nx=0恒有x=0。

環(huán)環(huán)是對并與差運(yùn)算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設(shè)F是Ω上的一個(gè)非空集類。如果它對集的并及差運(yùn)算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環(huán)。例如，若F是由實(shí)直線R上任意有限個(gè)左開右閉的有限區(qū)間的并集：1

的全體構(gòu)成的集類，則F是R上的一個(gè)環(huán)。環(huán)也是對于交與對稱差運(yùn)算封閉的集類，并按這兩種運(yùn)算成為布爾環(huán)。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾杰斯測度以及相應(yīng)的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類并研究其性質(zhì)。環(huán)以及半環(huán)、σ環(huán)、代數(shù)、σ代數(shù)等重要集類正是為了這一目的而引入的。

環(huán)論環(huán)論是研究環(huán)的性質(zhì)及其運(yùn)算規(guī)律的代數(shù)分支學(xué)科。近代環(huán)論也包含了非結(jié)合代數(shù)?！碍h(huán)”是抽象代 數(shù)研究中的基本對象之一。

環(huán)和理想的構(gòu)造在19世紀(jì)已為人熟知，并應(yīng)用在戴德金(Dedekind，R.)和克勞尼克(Kronecker， L.)等關(guān)于代數(shù)數(shù)的著作中?？藙?尼克(Kronecker，L.)將環(huán)稱為“order”，希爾伯特(Hilbert，D.)才引 進(jìn)了“ring (環(huán))”這一詞。但是抽 象的理論是在20世紀(jì)發(fā)展起來的。至諾德愛米(Noether，N.)將其置于系統(tǒng)化和公理化的基礎(chǔ)上。

環(huán)論和群的概念有密切關(guān)系， 設(shè)S是一個(gè)集合，它在加法之下構(gòu)成Abel群，在乘法運(yùn)算之下是半群，對加法滿足分配律，即對：

?a， b， c∈S，a(b+c)=ab+ac，(a+b)c=ac+bc。

在環(huán)中，對乘法而言ab=0?a=0或b=0如果有a∈S， 存在b∈S，使ab=0 (ba=0)，則 說a是S中的一個(gè)左 (右) 零因 子。不含零因子的交換環(huán)稱為整 環(huán)。數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)也是整環(huán)。 n階矩陣環(huán)則不是整環(huán)。

正如不變子群在群的研究中所起作用一樣，理想的概念對環(huán)的研究至關(guān)重要。對環(huán)S中的非空子集 A，如果A關(guān)于S中的兩種運(yùn)算構(gòu)成環(huán)，則A是S的子環(huán)。進(jìn)一步， 對S中的子環(huán)A， 如果?m∈S， a∈ A，有xa，ax∈A，則A稱為環(huán)S的一個(gè)理想。顯然S中理想的交集仍是S的理想，當(dāng)A是環(huán)S的一個(gè)理想時(shí)，由加法運(yùn)算作出商群 S/A，此商群對乘法而言，易證其為半群，從而S/A構(gòu)成環(huán)，稱為商環(huán)，或稱S關(guān)于A的剩余類環(huán)。

阿貝爾群阿貝爾群亦稱交換群。一種重要的群類。對于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運(yùn)算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由于阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運(yùn)算常用加法來表示，此時(shí)群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負(fù)元).用加法表示的交換群稱為加法群或加群。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)