[科普中國]-正合函子

設(shè) 為阿貝爾范疇， 為加法函子。若對每個正合序列

取 后得到的序列

仍為正合序列，則稱 為正合函子。

由于正合序列總能拆解為短正合序列，在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外，若對每個短正合序列 ，其像截去尾端零對象后 為正合序列，則稱左正合函子；類似地，若 為正合序列，則稱 是右正合函子。正合性等價于左正合性+右正合性。1

考慮一個函子 。

若 里存在任意的有限射影極限，且與有限射影極限交換（即：），則稱為左正合。

若里存在任意的有限歸納極限，且與有限歸納極限交換（即：），則稱為右正合。

若上述條件同時被滿足，則稱 為正合。

在阿貝爾范疇中，由于任意有限射影（或歸納）極限可以由核（或上核）與有限積（或上積）生成，此時的定義遂回歸到正合序列的定義。2

根據(jù)極限的泛性質(zhì)，函子無論對哪個變數(shù)都是左正合的，這是左正合函子的基本例子。

設(shè)是一對伴隨函子。若存在任意有限歸納極限，則右正合；若存在任意有限射影極限，左正合。此法可建立許多函子的正合性。

設(shè)為拓撲空間，阿貝爾群數(shù)學范疇上的整體截面函子是左正合函子。

設(shè)為環(huán)，為右-模，則左-模范疇上的張量積函子是右正合函子。

設(shè)為兩個阿貝爾范疇，考慮函子范疇，固定一對象，對的“求值”是正合函子。3