[科普中國]-平坦態(tài)射

概述

平坦態(tài)射（flat morphism）是平坦模的推廣和相對(duì)化。設(shè)是概形的態(tài)射，若對(duì)于任意的點(diǎn)，局部環(huán)是平坦環(huán)，則稱是平坦態(tài)射，X稱為平坦S概形。直觀上看，有限型平坦態(tài)射相當(dāng)于代數(shù)簇的連續(xù)族。平坦態(tài)射是開映射，而且是等維數(shù)的（即對(duì)于的鄰域，的纖維有相同維數(shù)）。若平坦態(tài)射又是滿的，則稱為忠實(shí)平坦的。1

定理及引理平坦性是一個(gè)不很直觀的概念：一個(gè)環(huán)上的模稱為平坦模，如果對(duì)任意-模的單同態(tài)，誘導(dǎo)同態(tài)???是單同態(tài)。設(shè)為一個(gè)代數(shù)集上的模層，若任一點(diǎn)上的莖是上的平坦模，則稱在上是平坦的。一個(gè)代數(shù)集的態(tài)射稱為平坦的，如果對(duì)任意，是平坦模（此時(shí)亦稱在上平坦）。

引理：設(shè)為代數(shù)閉域上的擬射影代數(shù)集，為上的代數(shù)集（即給定了態(tài)射和）。

（1）上的可逆層是平坦的。

（2）開嵌入是平坦態(tài)射。

（3）平坦態(tài)射的合成是平坦態(tài)射。

（4）和在上平坦。

（5）若和都是仿射的，其函數(shù)環(huán)分別為、，則在上平坦當(dāng)且僅當(dāng)為平坦-模。

（6）在上平坦當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)開覆蓋，其中每個(gè)在上平坦。

（7）若態(tài)射平坦則態(tài)射平坦（簡言之“基變換保持平坦性”）。

（8）設(shè)在上平坦，為-態(tài)射。若對(duì)任一點(diǎn)，在上的纖維平坦，則平坦。

（9）設(shè)在上平坦，為閉嵌入，其理想層為。若在任意點(diǎn)上的纖維是單射，則在上平坦。

（10）若是平坦?jié)M射且是連通的，則在上的所有纖維具有相同的維數(shù)。

（11）若在上是有限的，則平坦當(dāng)且僅當(dāng)是局部自由模層。

（12）若平坦則是開映射。2