[科普中國]-表示函子

設 為局部小范疇，并記集合范疇為 。對 中的每個對象 以 指代將對象 映到集合 的Hom函子。

函子 是可表的當存在某個 中的對象 使得 自然同構(gòu)于 。而滿足

為自然同構(gòu)的對 則稱為 的一個表示，即表示函子1。

從 到 的反變函子 不過是（協(xié)變）函子 ，常被稱作預層。與協(xié)變的情況相似，預層是可表的當它自然同構(gòu)與某個反變的Hom函子 ，其中 是 中的某個對象。

根據(jù)米田引理，從 到 的自然變換與集合 一一對應。給定自然變換 ，與之對應的元素 由

給出。反之，給定元素 ，可以如下定義自然變換

其中 是 中的任意元素。為了得到 的表示，我們需要確定 誘導的自然變換何時會是同構(gòu)。這引導出如下定義：

函子 的泛元素是由 中的對象 與 中的元素 組成的一對 ，使得對于任意滿足 的對 ，都存在唯一映射 使得 。

泛元素還可看作從單點集合 到函子 的泛態(tài)射，又或者看作 的元素范疇中的始對象。

這樣，由元素 誘導的自然變換是自然同構(gòu)當且僅當 是 的泛元素。由此可以得出 的表示與 的泛元素之間的一一對應。為此，泛元素 常常也被稱為表示。

函子的表示在同構(gòu)的意義下唯一。換言之，如果 與 表示同一個函子，那么存在唯一的同構(gòu) 使得

作為從 到 自然同構(gòu)相等。這一事實可由米田引理簡單得出。

用泛元素的語言表述如下：如果 與 表示同一個函子，那么存在唯一的同構(gòu) 使得

表示函子自然同構(gòu)于Hom函子，因而享有許多后者的性質(zhì)。尤其值得注意的是，（協(xié)變）表示函子保持所有極限。由此可得，未能保持某些極限的函子都不是可表的。

相似地，反變可表函子把余極限映到極限。

如果函子 帶有左伴隨 ，那么它就可由 表示；這里 是某個單元素集合，而 是伴隨的單位。

反之，如果 由對 表示，且 的任意上冪在 中都存在，那么 擁有左伴隨 ，后者將任意集合 映到 的 次上冪。

所以，如果 是帶所有上冪的范疇，則函子 是可表的當且僅當它擁有左伴隨2。