[科普中國]-全子范疇

全子范疇(full subcategory)是一種特殊的子范疇，設(shè)D為C的子范疇，若子范疇定義中的條件HomD(A，B)?HomC(A，B)改為HomD(A，B)=HomC(A，B)，則稱D為C的全子范疇。阿貝爾群范疇是群范疇的全子范疇，交換環(huán)范疇是環(huán)范疇的全子范疇，但存在不是全子范疇的子范疇。例如，令范疇Φ的對象為一切Sn=(0，1，2，…，n)，n=0，1，…，態(tài)射Sn→Sm，n≤m定義為Sn的各分量變成Sm中大于或等于此分量的分量，態(tài)射合成按常規(guī)合成定義，若限制其中的態(tài)射滿足f(0)=0，則得到Φ的一個子范疇Φ1，但Φ1不是Φ的全子范疇1。

基本介紹范疇D稱為C的子范疇(sub category)，如果是的子類，且，而且D中的態(tài)射的合成和C是一樣的。例如，Poset是Set的子范疇。又如果，有，則稱D是C的全****子范疇(full subcategory)。例如，Grp是Mon的全子范疇。

相關(guān)概念模范疇對偶性模范疇對偶性(duality in categories of modules)是模范疇等價的對偶概念。設(shè)C和D是兩個范疇，和是兩個逆變函子，若有自然等價和，則稱與是對偶函子，而稱C與D是對偶范疇。模論中考慮較多的問題是：在模范疇和中是否有全子范疇和，以及和之間的加性逆變函子，使得與是對偶函子，和是對偶范疇，此性質(zhì)就稱為模范疇的對偶性1。

模范疇等價模范疇等價(equivalence of categories of modules)是對模范疇的一種刻畫，存在等價函子的模范疇稱為等價的模范疇。設(shè)是模范疇，若存在加性共變函子

和

使得GF自然同構(gòu)于的恒等函子，F(xiàn)G自然同構(gòu)于的恒等函子，則稱函子F與G等價，且稱模范疇與是等價的，記為

此時，也稱環(huán)A與B是森田紀(jì)一相似的，記為。兩個模范疇C，D等價的充分必要條件是，存在全忠實函子，并且對任意，總有，使得同構(gòu)于。模范疇的等價理論是模論的一個重要組成部分，森田紀(jì)一(Morita Kiiti)于1958年討論了兩個模范疇的等價和對偶，得到了一系列深刻而又漂亮的結(jié)果，森田紀(jì)一的工作是經(jīng)典的阿廷-韋德伯恩定理在模上的推廣，現(xiàn)在他的工作已發(fā)展成所謂的森田紀(jì)一理論。

森田紀(jì)一對偶定理森田紀(jì)一對偶定理(Morita theorem on duality)是模范疇對偶性的重要定理。設(shè)C和D是和的全子范疇，且，又對任意，若，則必有，這里。若和是對偶函子，則一定存在雙模，使得：

1.

2.

3. C和D中每個模都是U自反模。

在一個模范疇中，不可能每一個模都是U自反模，所以模范疇的對偶只能在全子范疇之間存在1。

塞爾子范疇塞爾子范疇(Serre subcategory)是阿貝爾范疇的一種子范疇，它在同調(diào)代數(shù)等學(xué)科中有重要應(yīng)用，也是定義商范疇的基礎(chǔ)概念。設(shè)C為阿貝爾范疇，D為C的全子范疇且滿足：對C中任意的正合列，當(dāng)且僅當(dāng)且(即，當(dāng)且僅當(dāng)B的子對象與商對象都是D的對象)，此時稱D為C的塞爾子范疇，塞爾子范疇仍為阿貝爾范疇1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)