[科普中國(guó)]-加性范疇

概念

加性范疇(additive category)亦稱加法范疇。是一種常用范疇。一個(gè)范疇C稱為加性范疇。若它滿足下述條件：

1.C有零對(duì)象.

2.對(duì)任何A，B∈C，Hom(A，B)為一個(gè)加法阿貝爾群.

3.態(tài)射合成滿足左、右分配律，即，若σ，σ′∈Hom(A，B)，τ，τ′∈Hom(B，C)，則

(τ+τ′)σ=τσ+τ′σ， τ(σ+σ′)=τσ+τσ′.

4.任何有限個(gè)A1，A2，…，An∈C，上積

必存在，其中條件4可換為

4′.對(duì)任何A，B∈C，上積AB必存在.

加性范疇最典型的例子是阿貝爾群范疇AG。在加性范疇中有限個(gè)對(duì)象必有積；加性范疇的對(duì)偶范疇仍為加性范疇；加性范疇中態(tài)射f為單態(tài)射的充分必要條件是kerf=0，f為滿態(tài)射的充分必要條件是coker f=0。

范疇范疇是范疇論的基本概念之一。稱C是一個(gè)范疇，是指C滿足下述六點(diǎn)：

1.C有一個(gè)對(duì)象類{A，B，C，…}(不要求它是一個(gè)集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對(duì)象)，常記為ObjC或簡(jiǎn)記C.

2.對(duì)C的任兩對(duì)象A，B，有一個(gè)確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態(tài)射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B.

3.對(duì)給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成.

4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D.

5.態(tài)射合成滿足結(jié)合律.

6.對(duì)C的任意對(duì)象A，Hom(A，A)至少有一個(gè)元素εA使對(duì)σ∈Hom(A，B)恒有σεA=σ=εBσ，稱εA為A的恒等態(tài)射(εB為B的恒等態(tài)射).

例如，以一切集合作對(duì)象，以集合映射作態(tài)射，則得集合范疇Set(簡(jiǎn)稱集范疇)。以一切拓?fù)淇臻g作對(duì)象，以連續(xù)映射作態(tài)射，則得拓?fù)淇臻g范疇Top。以一切環(huán)為對(duì)象，以環(huán)同態(tài)作為態(tài)射得環(huán)范疇Ring。類似地，可得群范疇Group，阿貝爾群范疇AG，環(huán)R上的左R模范疇RM等。以自然數(shù)為對(duì)象，a|b(表示a整除b)時(shí)定義Hom(a，b)有惟一元素φab，ab時(shí)定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個(gè)范疇。一般地，對(duì)每個(gè)擬序集都可仿此定義范疇。

實(shí)例——阿貝爾群范疇阿貝爾群范疇是一種特殊的加性范疇。因此具有更豐富的性質(zhì)。一個(gè)加性范疇C稱C為阿貝爾范疇。若再滿足下述三條件：

1.任何態(tài)射f都有核ker(f)與上核coker(f).

2.任何單(滿)態(tài)射都是其上核(核)的核(上核).

3.任何態(tài)射σ都可分解為一個(gè)單態(tài)射η與一個(gè)滿態(tài)射π的合成σ=ηπ(稱為σ的標(biāo)準(zhǔn)分解式).

阿貝爾群范疇、環(huán)R上的R模范疇都是阿貝爾范疇。阿貝爾范疇具有加性范疇的一切性質(zhì)。阿貝爾范疇的對(duì)偶范疇仍為阿貝爾范疇。阿貝爾范疇中既單且滿的態(tài)射是單位態(tài)射。阿貝爾范疇在同調(diào)代數(shù)及代數(shù)幾何中都是最常用的一類范疇。

阿貝爾群阿貝爾群亦稱交換群。一種重要的群類。對(duì)于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由于阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運(yùn)算常用加法來表示，此時(shí)群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負(fù)元)。用加法表示的交換群稱為加法群或加群。2

態(tài)射態(tài)射是范疇論的基本概念之一。通?？煽闯墒峭瑧B(tài)與映射的推廣。

同態(tài)設(shè)E與F為兩個(gè)群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?。稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對(duì)于E的任一元素偶(x，y)，有

設(shè)E與F為兩個(gè)幺半群(兩個(gè)群)，稱從E到F中的映射。f是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，后一個(gè)條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)， 而并不因此就是幺半群的同態(tài))。

設(shè)G為乘法群，而a為G的元素。由關(guān)系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。

設(shè)A與B為兩個(gè)環(huán)(兩個(gè)體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài). 這就是說，對(duì)A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設(shè)n為非零自然數(shù);使任一有理整數(shù)對(duì)應(yīng)其對(duì)模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài).設(shè)E與F為兩個(gè)A-代數(shù)(兩個(gè)酉A-代數(shù)). 稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài)。

例如，設(shè)E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對(duì)應(yīng)它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài).

同態(tài)的概念能用抽象的方式加以推廣。

映射映射亦稱函數(shù)。數(shù)學(xué)的基本概念之一。也是一種特殊的關(guān)系。設(shè)G是從X到Y(jié)的關(guān)系，G的定義域D(G)為X，且對(duì)任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y(jié)的映射。即關(guān)系G為映射時(shí)，應(yīng)滿足下列兩個(gè)條件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個(gè)被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

關(guān)系G常使用另一些記號(hào)：f：X→Y或XY.f與G的關(guān)系是y=f(x)(x∈X)，當(dāng)且僅當(dāng)G(x，y)成立.可取變域X中的不同元素為值的變?cè)Q為自變?cè)蜃宰兞?。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變?cè)Q為因變?cè)蛞蜃兞俊Ｊ技疿稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f).Y中與X中的元素有關(guān)系G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。當(dāng)y=f(x)時(shí)，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對(duì)于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。對(duì)于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。3