[科普中國]-格序單群

概念介紹

格序單群(lattice-ordered simple group)亦稱L單群。是單群在格序群范疇中的推廣。沒有真L理想的格序群稱為格序單群或L單群。若全序集T是2齊次的，則A(T)的換位子群B(T)是l單的。2

群群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運算“·”(稱為“乘法”，運算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對于所定義的運算“·”構(gòu)成一個群。例如，所有不等于零的實數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個群;時針轉(zhuǎn)動(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對幾何學(xué)進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

單群單群是一類重要的群。即不含非平凡正規(guī)子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正規(guī)子群，則稱G為單群。若此時G還是有限群，則稱G為有限單群。有限單群的例子有：素數(shù)階群，交錯群An，n≥5。有限單群的研究是有限群論中一個十分活躍的領(lǐng)域。

格序群亦稱格群或L群。一種具有格序關(guān)系的群。若偏序群G作為偏序集是格，則稱G為格序群。格群是分配格。設(shè)G既是群又是格，則G是格序群當(dāng)且僅當(dāng)對任意a，b，x，y∈G，滿足：

a+(x∨y)+b=(a+x+b)∨(a+y+b)，

a+(x∧y)+b=(a+x+b)∧(a+y+b)。

除去平凡的格群外 ，沒有有限格群。3

理想集合論中的基本概念之一。設(shè)S為任意集合，若I?P(S)且滿足：

1.?∈I;

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;

3.若X，Y?S，X∈I，Y?X，則Y∈I;

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎每個分支中均有應(yīng)用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數(shù)上的理想即為集合上的理想的一種變體。設(shè)B為任意布爾代數(shù)，若B的一個子集L滿足：

1.0∈I，1?I(其中0，1分別為布爾代數(shù)B中的零元與么元);

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

則稱L為B上的理想.

L理想亦稱L幻。是一類重要的凸L子群。格群G的正規(guī)凸l子群，稱為G的L理想。{0}及G本身是G的L理想，稱為G的平凡l理想。若φ是格群G到格群H的滿L同態(tài)，則：

1.φ的核ker(φ)是G的L理想。

2.若N是G的l理想，在商群G/N中，定義N+a≥N+b，當(dāng)且僅當(dāng)存在k∈N使k+a≥b，則

且G/N是一個格群。自然映射η：G→G/N是一個L同態(tài)。

3.G/ker(φ)與H是L同構(gòu)。4

全序集全序集亦稱線性序集。又稱鏈。一類重要的偏序集。若偏序集P適合公理P4：若對任意x，y∈P，x