[科普中國(guó)]-自由格序群

概念介紹

自由格序群是一類重要的格序群。設(shè)S是一個(gè)集合，π是S到格序群F的單映射。若：

1.F是由Sπ生成的l群；

2.若σ是S到任意格序群H的映射，則存在F到H的l同態(tài)τ，使π°τ=σ，即圖是可換的；則稱(F，π)為S上的自由格序群，S為F的自由生成元集。任意基數(shù)α的集合S上的自由格序群Fα是存在的，且在同構(gòu)的意義下是惟一的。若(F，π)是偏序群G上的自由格序群，則：

1.若G是交換群，則F也是交換群，若S是G的生成元集，則Sπ是格序群F的生成元集。

2.若(F，π)是平凡序自由群G上的自由格序群，S是G的自由生成元集，則Sπ是自由格序群F上的自由生成元集。

若(F，π)是格序群G上的自由格群，則下列命題等價(jià)：

1.Gπ=F。

2.G是全序群。

3.G到格序群的保序同態(tài)是一個(gè)l同態(tài)。2

群群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來(lái)建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來(lái)定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類?？梢哉f(shuō)，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

格論格論論述次序及包含的性質(zhì)，是布爾代數(shù)的推廣，現(xiàn)已成為代數(shù)的重要組成部分，并在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計(jì)算機(jī)科學(xué)、圖論等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂格即指在集合L中定義兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算∨和∧，這兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律)；(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律)；(3)a ∨交換律；(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結(jié)合律)；(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關(guān)系。格的種類有分配格、模格、完全格等。

格序群格序群亦稱格群或l群。一種具有格序關(guān)系的群。若偏序群G作為偏序集是格，則稱G為格序群。格群是分配格。設(shè)G既是群又是格，則G是格序群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意a，b，x，y∈G，滿足：

a+(x∨y)+b=(a+x+b)∨(a+y+b)，

a+(x∧y)+b=(a+x+b)∧(a+y+b).

除去平凡的格群外 ，沒(méi)有有限格群。3

同態(tài)設(shè)E與F為兩個(gè)群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?. 稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對(duì)于E的任一元素偶(x，y)，有：

設(shè)E與F為兩個(gè)幺半群(兩個(gè)群)，稱從E到F中的映射.f是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，后一個(gè)條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)， 而并不因此就是幺半群的同態(tài))。

設(shè)G為乘法群，而a為G的元素. 由關(guān)系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。

設(shè)A與B為兩個(gè)環(huán)(兩個(gè)體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài)。這就是說(shuō)，對(duì)A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設(shè)n為非零自然數(shù);使任一有理整數(shù)對(duì)應(yīng)其對(duì)模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài).設(shè)E與F為兩個(gè)A-代數(shù)(兩個(gè)酉A-代數(shù)). 稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài).

例如，設(shè)E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B(niǎo)為E的基. 則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對(duì)應(yīng)它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài)。

同態(tài)的概念能用抽象的方式加以推廣。4

同構(gòu)兩個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)(例如兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng))，當(dāng)它們的元素及各自所定義的運(yùn)算一一對(duì)應(yīng)，并且運(yùn)算結(jié)果也保持一一對(duì)應(yīng)，則稱這兩個(gè)系統(tǒng)同構(gòu)，記為≌。它們對(duì)于所定義的運(yùn)算，具有相同的結(jié)構(gòu)。例如，十進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)是同構(gòu)的。

建立同構(gòu)關(guān)系的映射，稱為同構(gòu)映射。例如，當(dāng)映射為一一映射，并且對(duì)應(yīng)元素關(guān)于運(yùn)算保持對(duì)應(yīng)時(shí)，就是同構(gòu)映射。

同構(gòu)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一。在很多情況，一個(gè)難題往往可以化成另一個(gè)同構(gòu)的、似乎與它不相關(guān)的、已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而使原問(wèn)題方便地得到解決。雖然數(shù)學(xué)發(fā)展得越來(lái)越復(fù)雜，但利用同構(gòu)概念，不僅使數(shù)學(xué)得到簡(jiǎn)化，而且使數(shù)學(xué)變得越來(lái)越統(tǒng)一。表面上似乎不同，但本質(zhì)上等價(jià)的結(jié)果，可以用統(tǒng)一的形式表達(dá)出來(lái)。例如，如果四色定理得到了證明，其他數(shù)學(xué)分支中與它同構(gòu)的幾十個(gè)假設(shè)，也同時(shí)得到了證明。5