[科普中國(guó)]-正錐

基本介紹

在給定的線性空間中，可以引進(jìn)一個(gè)凸錐來(lái)規(guī)定一種序關(guān)系。這是討論線性空間中不等式關(guān)系的一個(gè)必不可少的前提。

定義 設(shè)X是一個(gè)線性空間，P足X中的一個(gè)凸錐，并且對(duì)于任意的 與 ，若 ，則記為 。對(duì)于這樣的P稱為X中的一個(gè)正凸錐，有時(shí)簡(jiǎn)稱為正錐；若令 ，則稱N為X中的負(fù)凸錐，簡(jiǎn)稱為負(fù)錐。顯然，若 ，則有 。

例如，在 中凸錐

它定義了En中的正卦限；又例如，在區(qū)間 上所有函數(shù)構(gòu)成的線性空間中，其凸錐自然可以定義為 上的所有非負(fù)函數(shù)構(gòu)成的集合。

正錐與凸映射很容易驗(yàn)證，上述定義中的序關(guān)系，滿足以下三條性質(zhì)：

1.自反性 。

2.傳遞性 若 ，又 ，則 。

3.對(duì)稱性 若 ，又 ，則 。

如果在X中定義了序關(guān)系“≥”，并且滿足上述三條公理，那么就稱在X中用正錐P定義了偏序關(guān)系。對(duì)于偏序關(guān)系我們需注意，在X中并非任意兩個(gè)元素都是可比的，所以才稱之為偏序。

在賦范線性空間中，有時(shí)用閉凸錐來(lái)定義正錐具有特殊的意義。另外，如果x是正錐P的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，那么可以把它記為 。對(duì)于許多應(yīng)用問(wèn)題，為了能夠使用凸集分離定理，P至少要有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，這是必不可少的條件。

給定一個(gè)賦范線性空間X與一個(gè)正凸錐 ，還可以在其對(duì)偶空間X*中定義一個(gè)對(duì)應(yīng)的對(duì)偶正凸錐

對(duì)此， ，又可以記作 。

即使P不一定是閉的，而 卻總是閉的。如果P是閉的，那么在P與 之間有下列關(guān)系：

命題1 設(shè)X是一個(gè)賦范線性空間，P是X中的正凸錐，并且P是閉的。若x∈X，對(duì)于所有的 ，滿足 則 。

證明： 用反證法假設(shè)不成立，即，那么根據(jù)凸集分離定理，即知存在一個(gè)閉超平面，亦即有界線性泛函，使得對(duì)于所有的p∈P，由于P是閉的，應(yīng)有。由于P是X中的凸錐，所以，所以特別有，此與命題之假設(shè)不符。故必有，即。

命題2 設(shè)X是一個(gè)賦范線性空間，P是X中的正凸錐，若 ，則對(duì)于所有非零的 ，有 。

**證明:**由于是P的內(nèi)點(diǎn)，所以存在一個(gè)以為中心，以r>o為半徑的閉球，即當(dāng)時(shí)，有。由于，所以，即。從而根據(jù)范數(shù)的定義，有

以上，我們已經(jīng)推廣了向量不等式的概念，這就有可能使我們引進(jìn)關(guān)于映射的凸性定義。

定義 設(shè)X是一個(gè)線性空間，Z也是一個(gè)線性空間，在Z中具有正凸錐P。若映射 ，G的定義域是Ω，Ω是X中的凸集，并且對(duì)于所有的x1，x2∈Ω以及α∈ [0，1]，有

則稱G是一個(gè)凸映射。2