[科普中國]-格同態(tài)

概念介紹

格同態(tài)(homomorphism of lattices)是刻畫格結(jié)構(gòu)的重要方法之一。設L1，L2是格，a，b∈L1，f是L1到L2的映射，若：

f(a∧b)=f(a)∧f(b)，

則稱f為交同態(tài)；對偶地可定義并同態(tài)。若f既是交同態(tài)又是并同態(tài)，則稱f為格L1到格L2的格同態(tài)。若格同態(tài)f是單射，則稱f為L1到L2的格嵌入。若格同態(tài)f既是單射又是滿射，則稱f為L1到L2的格同構(gòu)。若L1和L2是有界格，且格同態(tài)f使得f(0)=0，f(1)=1，則稱f為{0，1}格同態(tài)。同樣可定義{0}格同態(tài)、{0，1}格嵌入。格L到自身的格同態(tài)、格同構(gòu)稱為格自同態(tài)、格自同構(gòu)。1

格論格論論述次序及包含的性質(zhì)，是布爾代數(shù)的推廣，現(xiàn)已成為代數(shù)的重要組成部分，并在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計算機科學、圖論等方面有廣泛的應用。所謂格即指在集合L中定義兩個代數(shù)運算∨和∧，這兩個代數(shù)運算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律);(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律);(3)a ∨交換律;(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結(jié)合律);(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關系。格的種類有分配格、模格、完全格等。

同態(tài)設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?. 稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對于E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個幺半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，后一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)， 而并不因此就是幺半群的同態(tài))。

設G為乘法群，而a為G的元素。由關系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。

設A與B為兩個環(huán)(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài). 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數(shù)；使任一有理整數(shù)對應其對模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài)。設E與F為兩個A-代數(shù)(兩個酉A-代數(shù))。 稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài)。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。 則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài)。

同態(tài)的概念能用抽象的方式加以推廣。

自同態(tài)指從群胚，幺半群，群，環(huán)到其自身中的同態(tài)，向量空間在自身中的線性映射，等等。

設G為關于加法的交換群。賦以加法及法則(f，g)?g°f的G的全體自同態(tài)之集是一個環(huán)。

設E為交換體K上的向量空間.賦以法則(f， g)?g°f， E的全體自同態(tài)之向量空間是酉代數(shù)，記為?(E)，或End(E).元素g°f仍記為gf.A-模的情形是類似的。2

同構(gòu)設E與F為兩個群胚，兩個幺半群，兩個群，兩個環(huán)，兩個向量空間，兩個代數(shù)或兩個酉代數(shù). 稱從E到F中的映射f是同構(gòu)，如果f有逆映射，并且f與f是兩個同態(tài)?？梢宰C明，任一雙同態(tài)是同構(gòu)。

設E與F為兩個有序集。稱從E到F中的映射f是同構(gòu)，如果它存在逆映射，并且f與f-1都是遞增的。 即是說，對E的任一元素偶(x，y)，關系x≤y與f(x)≤f(y)等價。 在E與F皆為全序集的情況下，可以證明任一雙同態(tài)是同構(gòu)。例如， 指數(shù)函數(shù)x?ex是從實數(shù)加法群R到嚴格正實數(shù)乘法群R*+上的同構(gòu)。 逆同構(gòu)是對數(shù)函數(shù)x?lnx. 二者都是遞增的，這兩個雙射也是有序集的同構(gòu)。

自同構(gòu)自同構(gòu)是數(shù)學結(jié)構(gòu)的元素的一個保持結(jié)構(gòu)的排列。

設E為群胚，幺半群，群，環(huán)，向量空間，代數(shù)或酉代數(shù)。從E到其自身上的同構(gòu)稱為E的自同構(gòu)。

賦以合成法則(f，g)?g°f后，E的自同構(gòu)集是一個群，自然地稱為E的自同構(gòu)群，記為Aut(E)。例如，設E為交換體K上的向量空間。 E的同位相似是自同構(gòu)，當且僅當它的比不為零. ——現(xiàn)假定E為有限維的。為使E的自同態(tài)是自同構(gòu)，必須且只須它是單射，或是雙射。3