[科普中國]-相對有補(bǔ)格

概念

相對有補(bǔ)格(relatively complemented lattice )是一類重要的弱模格。若格L的每一區(qū)間都是有補(bǔ)格，則稱L為相對有補(bǔ)格。有補(bǔ)模格是相對有補(bǔ)格，但有補(bǔ)格未必是相對有補(bǔ)格。任意有限長的相對有補(bǔ)格同構(gòu)于單格的直積，其每一元都是它所包含原子的并。有限長的相對有補(bǔ)格要么是單格，要么是直可分解格。1

格“格”一種特殊的偏序集。在許多數(shù)學(xué)對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實(shí)數(shù)間的大小順序；一個(gè)集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊(yùn)涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質(zhì)及作用而產(chǎn)生的概念和理論。

格論在代數(shù)學(xué)、射影幾何學(xué)、集合論、數(shù)理邏輯、泛函分析以及概率論等許多數(shù)學(xué)分支中都有應(yīng)用。例如，在代數(shù)學(xué)中，對于一個(gè)群G與其子群格（G）之間關(guān) 系的研究。在數(shù)理邏輯中，關(guān)于不可解度的研究。

格的定義：設(shè)（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個(gè)元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。

補(bǔ)格補(bǔ)格是一類特殊的格。它是所有元素均有其補(bǔ)元存在的格，亦稱此格是可補(bǔ)的。例如，布爾格Bn是可補(bǔ)的。這里，所謂a為b的補(bǔ)元，或b為a的補(bǔ)元是指格L中元素a和b滿足條件：a∨b=1和a∧b=0，其中1和0分別為格L的最大元和最小元。此時(shí)，亦稱元素a和b是互補(bǔ)的.當(dāng)把可補(bǔ)性僅僅限于格L的所有區(qū)間時(shí)，稱此格為相對補(bǔ)格，亦稱為局部補(bǔ)格。

有補(bǔ)格有補(bǔ)格是一類重要的格。設(shè)L是有0和1的格，且x∈L，若有y∈L，使x∧y=0及x∨y=1，則稱y為x的補(bǔ)元。若格L的每一元均有補(bǔ)元，則L稱為有補(bǔ)格。集格是有補(bǔ)格。

亦稱有余格。一種特殊的有界格。在有界格〈L，≤〉中，對于L中的任意元素a，如果存在b∈L，使得a+b=1，a·b=0，則稱元素b是元素a的補(bǔ)元。如果一個(gè)有界格的每個(gè)元素都至少存在一個(gè)補(bǔ)元，則此格稱為有補(bǔ)格。補(bǔ)元是對稱的，如果a是b的補(bǔ)元，則b也是a的補(bǔ)元，也可以說，a和b這兩個(gè)元素是互補(bǔ)的。對于任一元素a∈A，可以存在多個(gè)補(bǔ)元，也可以不存在補(bǔ)元。例如，在有界格中，因?yàn)閐∨c=1和d∧c=0，所以d和c是互補(bǔ)的.但b沒有補(bǔ)元，而a和d都是e的補(bǔ)元。2

模格一種組合構(gòu)形。它是滿足如下條件的格：對于格的任意元素x，y和z，若x≤z，則x∨(y∧z)=(x∨y)∧z.因此，模格是把滿足分配律的要求僅局限在可比較元素之間，從而模格可視為分配格的推廣，一個(gè)格是分配格，則必為模格.下圖里，M5，N5均不是分配格，但M5是模格，而N5不是模格。在模格L上，映射φa把x映照為x∧a;映射ψb則把y映照為y∨b，這里a和b均為L的固定的元素。于是φa和ψb為區(qū)間[b，a∨b]和[a∧b，a]之間互逆的同構(gòu)映射，因而這兩個(gè)區(qū)間是同構(gòu)的。模格的這一基本性質(zhì)，亦可作為模格的另一等價(jià)定義.在模格上，把形如I1=[a∧b，a]，I2=[b，a∨b]的區(qū)間稱為傳遞區(qū)間。若在兩區(qū)間[x，y]和[x′，y′]之間存在一組區(qū)間I1，I2，…，Ik，使得相鄰兩個(gè)區(qū)間都是傳遞區(qū)間，而且I1=[x，y]，Ik=[x′，y′]，則稱[x，y]和[x′，y′]中一個(gè)為另一個(gè)的投影區(qū)間。模格的投影區(qū)間均是同構(gòu)的.這種結(jié)構(gòu)上的均勻性是模格的主要特性。

模格也可由模元素來定義：格L為模格，當(dāng)且僅當(dāng)L的所有元素均為模元素.若L的元素a滿足：對于L的任意元素x，y，由x≤y得到x∧(a∨y)=(x∧a)∨y，則稱a為模元素.此外，格L上的一對元素a和b，若對于L的所有元素z它們滿足：若b≥z，則有b∧(a∨z)=(b∧a)∨z，此時(shí)稱a，b為模元素對.由定義知，在模元素對a和b之間是有序關(guān)系的.這就是說，當(dāng)a和b為模元素對時(shí)，b和a不一定為模元素對.因此，一般把模元素對a和b記為二元序?qū)?a，b)M，或aMb.模格亦可由模元素對刻畫：格L為模格，當(dāng)且僅當(dāng)L的每對元素均為模元素對.關(guān)于模元素對的序關(guān)系為對稱的格，即若a和b為模元素對，則b和a也為模元素對，相應(yīng)的格稱為模對稱格.

弱模格弱模格是一類特殊的格。設(shè)L是格，a，b，c，d∈L，若b