[科普中國]-商格

商格(quotient lattice)亦稱因子格。由合同關(guān)系誘導(dǎo)出的一類格。格L的每一同態(tài)像都與L的一個商格同構(gòu)。

概念商格(quotient lattice)亦稱因子格。由合同關(guān)系誘導(dǎo)出的一類格。設(shè)θ是格L上的一個合同關(guān)系，若L/θ={[a]θ|a∈L}表示L中由θ誘導(dǎo)的合同類的集合，定義：

則L/θ關(guān)于上述定義的運算∨和∧構(gòu)成格，稱為L模θ的商格。格L的每一同態(tài)像都與L的一個商格同構(gòu)。

合同關(guān)系合同關(guān)系是格的一種重要等價關(guān)系。設(shè)θ是格L的等價關(guān)系，若a≡b(θ)和a1≡b1(θ)，則a∧a1≡b∧b1(θ)和a∨a1≡b∨b1(θ)(替換性質(zhì))，稱θ為L的合同關(guān)系。若在格L上定義x≡y(ω)當且僅當x=y；對任意x，y有x≡y(ι)，則ω和ι是L的合同關(guān)系，稱為平凡的合同關(guān)系。若a∈L，[a]θ={x∈L|a≡x(θ)}表示包含a的合同類，則[a]θ是凸子格。對格L中的任一素理想P，均可構(gòu)造出一個只含P及補集L-P兩個合同類的合同關(guān)系。此種合同關(guān)系頗為重要。它是研究格的重要工具。

格“格”一種特殊的偏序集。在許多數(shù)學(xué)對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實數(shù)間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質(zhì)及作用而產(chǎn)生的概念和理論。

格論在代數(shù)學(xué)、射影幾何學(xué)、集合論、數(shù)理邏輯、泛函分析以及概率論等許多數(shù)學(xué)分支中都有應(yīng)用。例如，在代數(shù)學(xué)中，對于一個群G與其子群格（G）之間關(guān) 系的研究。在數(shù)理邏輯中，關(guān)于不可解度的研究。

格的定義：設(shè)（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。1

格論格論論述次序及包含的性質(zhì)，是布爾代數(shù)的推廣，現(xiàn)已成為代數(shù)的重要組成部分，并在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計算機科學(xué)、圖論等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂格即指在集合L中定義兩個代數(shù)運算∨和∧，這兩個代數(shù)運算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律);(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律);(3)a ∨交換律;(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結(jié)合律);(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關(guān)系。格的種類有分配格、模格、完全格等。

同態(tài)設(shè)E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?. 稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對于E的任一元素偶(x，y)，有：

設(shè)E與F為兩個幺半群(兩個群)，稱從E到F中的映射.f是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，后一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)， 而并不因此就是幺半群的同態(tài))。

設(shè)G為乘法群，而a為G的元素. 由關(guān)系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。

設(shè)A與B為兩個環(huán)(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài). 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：

并且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設(shè)n為非零自然數(shù)；使任一有理整數(shù)對應(yīng)其對模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài)。設(shè)E與F為兩個A-代數(shù)(兩個酉A-代數(shù))。稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài)。

例如，設(shè)E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對應(yīng)它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài)。同態(tài)的概念能用抽象的方式加以推廣。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)