[科普中國]-理想格

理想格(ideal lattice)亦稱幻格。由格的理想構(gòu)成的一類格。指格L的一切理想的集合I(L)按集合的包含關(guān)系偏序化所構(gòu)成的格。若J，K∈I(L)， J∧K=J∩K， J∨K=(J∪K]，稱為格L的理想格

概念理想格(ideal lattice)亦稱幻格。由格的理想構(gòu)成的一類格。指格L的一切理想的集合I(L)按集合的包含關(guān)系偏序化所構(gòu)成的格。若J，K∈I(L)， J∧K=J∩K， J∨K=(J∪K]，稱為格L的理想格，其中(J∪K]是由J和K的并集生成的理想。格L的理想格I(L)是模格當(dāng)且僅當(dāng)L是模格。分配格L的理想格I(L)是完全布勞威爾格。

格“格”一種特殊的偏序集。在許多數(shù)學(xué)對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實數(shù)間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質(zhì)及作用而產(chǎn)生的概念和理論。

格論在代數(shù)學(xué)、射影幾何學(xué)、集合論、數(shù)理邏輯、泛函分析以及概率論等許多數(shù)學(xué)分支中都有應(yīng)用。例如，在代數(shù)學(xué)中，對于一個群G與其子群格（G）之間關(guān) 系的研究。在數(shù)理邏輯中，關(guān)于不可解度的研究。

格的定義：設(shè)（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。1

格論格論論述次序及包含的性質(zhì)，是布爾代數(shù)的推廣，現(xiàn)已成為代數(shù)的重要組成部分，并在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計算機科學(xué)、圖論等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂格即指在集合L中定義兩個代數(shù)運算∨和∧，這兩個代數(shù)運算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律)；(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律)；(3)a ∨交換律;(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結(jié)合律)；(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關(guān)系。格的種類有分配格、模格、完全格等。

理想理想是集合論中的基本概念之一。設(shè)S為任意集合，若I?P(S)且滿足：

1.?∈I；

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I；

3.若X，Y?S，X∈I，Y?X，則Y∈I；

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎每個分支中均有應(yīng)用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數(shù)上的理想即為集合上的理想的一種變體。設(shè)B為任意布爾代數(shù)，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1?I(其中0，1分別為布爾代數(shù)B中的零元與么元)；

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I；

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I；

則稱I為B上的理想。

格的理想格的理想亦稱格的幻。格論的基本概念之一。相當(dāng)于群論中的正規(guī)子群。格(并半格)L的非空子集J，若具有下列性質(zhì)：

1.a∈J，x∈L，若x≤a，則x∈J(下封閉性)。

2.若a∈J，b∈J，則a∨b∈J(并封閉性)，

稱J為格L的理想(并理想)。格L的子格S是理想當(dāng)且僅當(dāng)a∈S和x∈L有a∧x∈S。在格(交半格)中，理想的對偶概念稱為對偶理想(交理想、濾子、對偶幻)。格的理想的概念是由斯通(Stone，M.H.)于1934-1935年引入的。1

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)