[科普中國]-布饒爾群

概念介紹

布饒爾群亦稱代數(shù)類群。域F上有限中心單代數(shù)的相似代數(shù)類所構(gòu)成的群。設(shè)U是域F上有限中心單代數(shù)的全體，有限中心單代數(shù)按其相應(yīng)的中心可除代數(shù)同構(gòu)所定義的相似關(guān)系是等價關(guān)系。用[A]表示U中元A所在的等價類。若B(F)={[A]|A∈U}，在B(F)中規(guī)定乘法[A][B]=[AFB]，則B(F)構(gòu)成一個交換群，稱為域F上的布饒爾群。它是布饒爾(Brauer，R.(D.))于1929年首先引入的。布饒爾群B(F)中每個元[A]可惟一地(同構(gòu)意義下)由一個可除代數(shù)決定。若A，B∈U，則AB當(dāng)且僅當(dāng)在B(F)中[A]=[B]且dimFA=dimFB。特別地，當(dāng)F是代數(shù)閉域時，B(F)={1}。1

群群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運算“·”(稱為“乘法”，運算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;2

(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對于所定義的運算“·”構(gòu)成一個群。例如，所有不等于零的實數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個群；時針轉(zhuǎn)動(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對幾何學(xué)進行分類?？梢哉f，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

單群單群是一類重要的群。即不含非平凡正規(guī)子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正規(guī)子群，則稱G為單群。若此時G還是有限群，則稱G為有限單群。有限單群的例子有：素數(shù)階群，交錯群An，n≥5。有限單群的研究是有限群論中一個十分活躍的領(lǐng)域。

單環(huán)與群論中單群類相對應(yīng)的基本環(huán)類。一個環(huán)(代數(shù))R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，則稱R為弱單環(huán)或單純環(huán)(弱單代數(shù))。弱單環(huán)(弱單代數(shù))可分兩類：一類是R≠0，此類環(huán)(代數(shù))稱為單環(huán)(單代數(shù))，它的冪零根為零；另一類是R=0，R稱為零乘環(huán)，它的冪零根是R本身。域F上的全矩陣環(huán)是單環(huán)，也是F上的單代數(shù)。F上有限維單代數(shù)必含單位元。3

中心單代數(shù)中心單代數(shù)亦稱正規(guī)單代數(shù)。結(jié)構(gòu)較清楚的一類重要單代數(shù)。若域F上代數(shù)A的中心是F本身，則稱A為中心代數(shù)(正規(guī)代數(shù))。中心是F的F單代數(shù)稱為中心單代數(shù)。每一個有單位元的單代數(shù)都是其中心上的中心代數(shù)，所以有單位元的單代數(shù)的研究可歸結(jié)為對純量擴張與中心單代數(shù)的研究。有限維單代數(shù)恒有單位元，所以恒為其中心上的中心單代數(shù)。然而域F上無限維單代數(shù)A未必有單位元，但此時A的形心是域，設(shè)為C，通常稱A為C(特別地C=F時)上中心單代數(shù)。當(dāng)A有單位元時，A的形心就是A的中心。任何單環(huán)都是形心上中心單代數(shù)。4

可除代數(shù)可除代數(shù)是平行于除環(huán)的一類重要代數(shù)。若R代數(shù)A的每個非零元在A中恒有逆元，即A=A\{0}是乘群，則稱A是R可除代數(shù)。R是域時，R可除代數(shù)簡稱可除代數(shù)。代數(shù)閉域F上有限維可除代數(shù)只有F自身.而實數(shù)域R上有限維可除代數(shù)有且僅有實數(shù)域、復(fù)數(shù)域與四元數(shù)可除代數(shù)三種，這是有限維可除代數(shù)著名的弗羅貝尼烏斯結(jié)構(gòu)定理。

人物簡介布饒爾是美國數(shù)學(xué)家。生于德國柏林，卒于美國波士頓。1925年畢業(yè)于柏林大學(xué)，獲博士學(xué)位。1925—1933年執(zhí)教于哥尼斯堡大學(xué)，1927年起任不支薪講師。1933年納粹上臺后移居美國。1933—1934年執(zhí)教于肯特基大學(xué)，1934—1935年在普林斯頓高級研究所任外爾的助手。1935年起執(zhí)教于多倫多大學(xué)，1946年升教授。1948—1952年在密執(zhí)安大學(xué)任教授。1952年起任哈佛大學(xué)教授。1971年退休。

布饒爾1954年當(dāng)選為美國全國科學(xué)院院士，1963年成為倫敦數(shù)學(xué)會榮譽會員，曾任美國數(shù)學(xué)會(1959—1960)主席。他還是加拿大皇家學(xué)會會員。曾獲滑鐵盧大學(xué)、芝加哥大學(xué)以及圣母大學(xué)等大學(xué)的名譽博士稱號。1970年獲美國國家科學(xué)獎?wù)隆?/p>

布饒爾早期研究群表示論和代數(shù)結(jié)構(gòu)。曾與諾特合作證明單代數(shù)分裂域與極大子域之間的密切聯(lián)系。后來他引進了域上的布饒爾群的概念，這是研究中心單代數(shù)的有力工具。1931年，他與哈塞和諾特合作證明了迪克森猜想：代數(shù)域上每一個中心單代數(shù)都是循環(huán)的。這是代數(shù)數(shù)論發(fā)展的一個高潮。1935年以后，他寫了約50篇關(guān)于有限群模表示理論及其在有限單群結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的論文。其中最引人注目的成就是發(fā)現(xiàn)了關(guān)于特征理論的新定理，使他立刻證明了阿廷L級數(shù)是亞純的和g次單位根域是一個階為g的群的分裂域。40年代后期他發(fā)現(xiàn)對合(invo-lutions)群的一些簡單性質(zhì)可以用來導(dǎo)出關(guān)于偶階群結(jié)構(gòu)的十分強的結(jié)果。進而提出了利用對合元素的中心化結(jié)構(gòu)來研究單群分類的布饒爾綱領(lǐng)。

布饒爾曾與人合著《有限群論專集》(The Theory of Finite Groups， a Symposium，1969)。他的中國學(xué)生有段學(xué)復(fù)和曹錫華等。5