[科普中國]-上同調(diào)模

概念

上同調(diào)模(cohomology modules)是一種重要的模。指由上復(fù)形給出的模。設(shè)：

是環(huán)A上的復(fù)形，因為dd=0，所以，于是為A模，稱此模為上復(fù)形X的上同調(diào)模。分別以來表示，把的元素分別稱為上鏈、上循環(huán)、上邊緣、上同調(diào)類。若X是環(huán)A上的復(fù)形，則對偶地可以定義復(fù)形X的同調(diào)模Hn(X)=ker dn/Im dn+1，把Xn，Zn，Bn，Hn的元素分別稱為鏈、循環(huán)、邊緣、同調(diào)類。

模模是一個重要的代數(shù)系統(tǒng)。它是一個帶算子區(qū)A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，并且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區(qū)，稱M為帶算子區(qū)A的模，又稱為A上的?；駻模。這時，由對應(yīng)(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導(dǎo)出M的自同態(tài)aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：

μ： A→End(M)， a→aM.

特別地，考慮A是結(jié)合環(huán)，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環(huán)同態(tài)，則稱M為左A?；蜃蟓h(huán)模。由于A到M上的運算是寫在左側(cè)，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA。若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或幺模。

模論抽象代數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，主要研究環(huán)上的模。模的概念本質(zhì)上是域上向量空間的直接推廣。早在19世紀(jì)，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾經(jīng)考慮過多項式環(huán)上的模，20世紀(jì)20年代，諾特(Noether，E.)曾一再提出過模的重要作用。交換環(huán)上的模在代數(shù)幾何中有重要作用，非交換環(huán)特別是群環(huán)上的模就是群的線性表示，域上的模就是向量空間。到了20世紀(jì)40年代，由于環(huán)論的需要和同調(diào)代數(shù)的興起，模論得到了進一步發(fā)展。近30年來，已成為同調(diào)代數(shù)、群論、環(huán)論、代數(shù)K理論、范疇論等分支學(xué)科研究中不可缺少的工具，并在其他數(shù)學(xué)分支，如代數(shù)幾何、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析甚至微分方程等領(lǐng)域里得到了較廣泛的應(yīng)用。現(xiàn)代模論已成為內(nèi)容豐富、文獻浩繁的代數(shù)學(xué)的一個獨立分支。

同態(tài)設(shè)E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?. 稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對于E的任一元素偶(x，y)，有：

設(shè)E與F為兩個幺半群(兩個群)，稱從E到F中的映射.f是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，后一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)， 而并不因此就是幺半群的同態(tài))。

設(shè)G為乘法群，而a為G的元素。 由關(guān)系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。

設(shè)A與B為兩個環(huán)(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài)。這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設(shè)n為非零自然數(shù)；使任一有理整數(shù)對應(yīng)其對模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài)。設(shè)E與F為兩個A-代數(shù)(兩個酉A-代數(shù))。稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài)。

例如，設(shè)E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對應(yīng)它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài)。

同態(tài)的概念能用抽象的方式加以推廣。

模同態(tài)模論的重要概念之一。指兩個模之間的一類映射。設(shè)M，N是兩個A模，f是加群M到N的群同態(tài)，若f還保持A到M，N上的運算，即對任意a∈A，f(ax)=af(x)，x∈M，則稱f是模同態(tài)，也稱A同態(tài)。常記為f∈HomA(M，N)或f∈Hom(M，N)。任意兩個模M，N之間總存在模同態(tài)，例如，設(shè)f(x)=0，x∈M，通常稱此同態(tài)為零同態(tài).若N是M的子模，映射π：x→x-=x+N是AM到AM-的模同態(tài)，則稱π為自然同態(tài)。模M，N之間的模同態(tài)集HomA(M，N)是一個加群，特別地，當(dāng)M=N時，記：

End(AM)=HomA(M，N)，

它是一個環(huán)，稱為模M的自同態(tài)環(huán)。A是End(AM)的子環(huán)。2

同構(gòu)兩個數(shù)學(xué)系統(tǒng)(例如兩個代數(shù)系統(tǒng))，當(dāng)它們的元素及各自所定義的運算一一對應(yīng)，并且運算結(jié)果也保持一一對應(yīng)，則稱這兩個系統(tǒng)同構(gòu)，記為≌。它們對于所定義的運算，具有相同的結(jié)構(gòu)。例如，十進制數(shù)與二進制數(shù)是同構(gòu)的。

建立同構(gòu)關(guān)系的映射，稱為同構(gòu)映射。例如，當(dāng)映射為一一映射，并且對應(yīng)元素關(guān)于運算保持對應(yīng)時，就是同構(gòu)映射。

同構(gòu)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構(gòu)的、似乎與它不相關(guān)的、已經(jīng)解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數(shù)學(xué)發(fā)展得越來越復(fù)雜，但利用同構(gòu)概念，不僅使數(shù)學(xué)得到簡化，而且使數(shù)學(xué)變得越來越統(tǒng)一。表面上似乎不同，但本質(zhì)上等價的結(jié)果，可以用統(tǒng)一的形式表達(dá)出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數(shù)學(xué)分支中與它同構(gòu)的幾十個假設(shè)，也同時得到了證明。

模同構(gòu)一種特殊的模同態(tài)。模M到N的同態(tài)f若是一一的并且是映上的，則稱f是M到N的同構(gòu)，這時稱M，N是同構(gòu)的模，記為MN。兩個同構(gòu)的模，從模的結(jié)構(gòu)來看，它們沒有什么區(qū)別.若f是同構(gòu)，則f的逆映射f也是同構(gòu)。3