[科普中國]-擬內(nèi)射模

概念

擬內(nèi)射模(quasi-injective module)是擬投射模的對(duì)偶概念。設(shè)M是左A模，若對(duì)每個(gè)單同態(tài)f：AN→AM及每個(gè)同態(tài)r：AN→AM，一定有同態(tài)r-：AM→AM，使得r-°f=r成立，則稱M是擬內(nèi)射模。內(nèi)射模一定是擬內(nèi)射的。半單模也一定是擬內(nèi)射模。1

模一個(gè)重要的代數(shù)系統(tǒng)。它是一個(gè)帶算子區(qū)A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，并且這個(gè)積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區(qū)，稱M為帶算子區(qū)A的模，又稱為A上的?；駻模。這時(shí)，由對(duì)應(yīng)(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運(yùn)算。任意a∈A可誘導(dǎo)出M的自同態(tài)aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：

μ： A→End(M)， a→aM.

特別地，考慮A是結(jié)合環(huán)，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環(huán)同態(tài)，則稱M為左A?；蜃蟓h(huán)模。由于A到M上的運(yùn)算是寫在左側(cè)，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉?；蜱勰！?/p>

內(nèi)射模內(nèi)射模是投射模的對(duì)偶概念。設(shè)Q是左A模，若函子HomA(-，Q)正合，則稱模Q為內(nèi)射模；這等價(jià)于：對(duì)每個(gè)單同態(tài)f：K→M，及每個(gè)同態(tài)r：K→Q，一定有同態(tài)r-：M→Q，使得r-°f=r成立。對(duì)任意模M，一定存在內(nèi)射模E，使得M是E的子模。若E是左A內(nèi)射模，且E是左A模M的子模，則E是M的直和因子。若A是環(huán)，則存在充分多的左A內(nèi)射模，例如，若Q是可除阿貝爾群，則HomZ(A，Q)是A內(nèi)射模。貝爾準(zhǔn)則是一個(gè)很有用的判別定理：對(duì)A的每個(gè)左理想I和每個(gè)A同態(tài)h：I→Q，若h都可開拓成h-：A→Q，即h-|I=h，則Q是內(nèi)射模；反之亦然。內(nèi)射模這一概念是由貝爾(Baer，R.)于1940年提出的；約翰遜(Johnson，R.E.)和黃德華于1961年將投射模、內(nèi)射模這些概念推廣到擬投射模和擬內(nèi)射模；山度米爾斯基(Sandomierski)于1964年推廣到相對(duì)投射模和相對(duì)內(nèi)射模。

投射模投射模是比自由模更一般的模。它是內(nèi)射模的對(duì)偶概念。設(shè)P是左A模，若有左A模Q使P⊕Q同構(gòu)于自由A模，則P稱為投射A模。這等價(jià)于：函子HomA(P，-)是正合的;也等價(jià)于：對(duì)每個(gè)滿同態(tài)f：M→N，及每個(gè)同態(tài)γ：P→N，一定有同態(tài)r-：P→M，使得f°r-=γ成立.對(duì)右A模有類似的定義與性質(zhì)。任意左A模M必是某一左A投射模的商模;環(huán)A作為A模當(dāng)然是投射模。自由模一定是投射模，投射模一定是平坦模；反之都不一定成立.當(dāng)環(huán)A是主理想整環(huán)時(shí)，每個(gè)投射模都是自由模。塞爾(Serre，J.P.)于1955年曾提出一個(gè)著名的猜測(塞爾猜測)：域F上的多項(xiàng)式環(huán)F[x1，x2，…，xn]上的每個(gè)有限生成的投射模是否是自由模?奎倫(Quillen，D.G.)和蘇斯林(Суслин，М.Я.)幾乎同時(shí)于1976年用不同方法給以解決(他們得出更強(qiáng)的結(jié)果，即只要限制F為主理想整環(huán)即可)。另外，交換諾特局部環(huán)上每個(gè)有限生成的投射模也是自由的，這個(gè)結(jié)果首先由卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)于1958年得到.投射模在模論、同調(diào)代數(shù)、代數(shù)K理論中有重要應(yīng)用。

擬投射模擬投射模是擬內(nèi)射模的對(duì)偶概念。它比投射模更廣。設(shè)M是左A模，若對(duì)每個(gè)滿同態(tài)f：AM→AN及每個(gè)同態(tài)r：AM→AN，一定有同態(tài)r-：AM→AM，使得f°r-=r成立，則稱M是擬投射模。投射模一定是擬投射模。若A是半完全環(huán)，則A上每個(gè)擬投射模是投射模當(dāng)且僅當(dāng)A是半單阿廷環(huán)。若A是阿廷主理想環(huán)，則每個(gè)擬投射左A模也是擬內(nèi)射的。半單模一定是擬投射模。2

同態(tài)設(shè)E與F為兩個(gè)群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?. 稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對(duì)于E的任一元素偶(x，y)，有：

設(shè)E與F為兩個(gè)幺半群(兩個(gè)群)，稱從E到F中的映射。是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，后一個(gè)條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)， 而并不因此就是幺半群的同態(tài))。

設(shè)G為乘法群，而a為G的元素. 由關(guān)系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。

設(shè)A與B為兩個(gè)環(huán)(兩個(gè)體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài). 這就是說，對(duì)A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設(shè)n為非零自然數(shù)；使任一有理整數(shù)對(duì)應(yīng)其對(duì)模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài)。設(shè)E與F為兩個(gè)A-代數(shù)(兩個(gè)酉A-代數(shù))。 稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài)。

例如，設(shè)E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。 則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對(duì)應(yīng)它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài)。3

同態(tài)的概念能用抽象的方式加以推廣。