[科普中國]-局部表現(xiàn)模

局部表現(xiàn)模(locally presented module)是一種有用的模。若環(huán)A是半完全環(huán)，則A是序列環(huán)的充分必要條件是，每個有限表現(xiàn)左A模是局部表現(xiàn)A模的直和。

概念局部表現(xiàn)模(locally presented module)是一種有用的模。設(shè)M是A模，若對任意滿同態(tài)α：AN→AN″，任意非零同態(tài)φ：M→N″和M的任意有限生成子模M′，φ在M′上的限制總可擴張為M′到N的同態(tài)，即有同態(tài)r：M′→N，使得φ|M′=α°r成立，則稱M是局部投射模。對A模M，若有正合序列：Q→P→M→0，其中P和Q都是局部投射模，則稱M是局部表現(xiàn)模。當Q，P都是有限生成投射時，M就稱為有限表現(xiàn)模。若環(huán)A是半完全環(huán)，則A是序列環(huán)的充分必要條件是，每個有限表現(xiàn)左A模是局部表現(xiàn)A模的直和。1

模一個重要的代數(shù)系統(tǒng)。它是一個帶算子區(qū)A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，并且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區(qū)，稱M為帶算子區(qū)A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(yīng)(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導(dǎo)出M的自同態(tài)aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：μ： A→End(M)， a→aM。

特別地，考慮A是結(jié)合環(huán)，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx；

3.(ab)x=a(bx)；

即映射μ：A→End(M)為環(huán)同態(tài)，則稱M為左A模或左環(huán)模。由于A到M上的運算是寫在左側(cè)，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA。若A有單位元1，且又滿足條件

4.1x=x (x∈M)；

則稱M為酉?；蜱勰?，以下設(shè)A模都是酉模。

同態(tài)設(shè)E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?. 稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對于E的任一元素偶(x，y)，有：

設(shè)E與F為兩個幺半群(兩個群)，稱從E到F中的映射.f是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，后一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)， 而并不因此就是幺半群的同態(tài))。

設(shè)G為乘法群，而a為G的元素. 由關(guān)系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。

設(shè)A與B為兩個環(huán)(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài). 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，并且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設(shè)n為非零自然數(shù)；使任一有理整數(shù)對應(yīng)其對模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài)。設(shè)E與F為兩個A-代數(shù)(兩個酉A-代數(shù))。稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài)。

例如，設(shè)E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對應(yīng)它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài)。2

序列環(huán)一類特殊環(huán)。指可表為其單側(cè)理想有線性序的(單側(cè))理想的有限直和的環(huán)類。一個模M，若它的子模對包含關(guān)系(AB或BA)是線性序，則稱M是單列模。環(huán)R當看做左正則模RR是有限個單列模的直和時，稱R是左序列環(huán).同樣地，可定義右序列環(huán)，但R是左序列環(huán)未必為右序列環(huán)。若環(huán)R是左序列環(huán)也是右序列環(huán)，則稱R是序列環(huán).任何阿廷主理想環(huán)皆為序列環(huán)。若R是左遺傳環(huán)且任意左R模的內(nèi)射包是平坦的，則R的任意左阿廷商環(huán)是左序列環(huán)。克德(Ko¨the，G.)于1935年首先引入了阿廷序列環(huán)并稱之為單列環(huán)。中山正(Nakayama，T.)于1940年稱之為廣義單列環(huán)。在有些文獻中，單列環(huán)一詞通常用來指準素可分解的阿廷序列環(huán)。淺野啟三(Asano，K.)于1949年曾刻畫阿廷序列環(huán)為任意單側(cè)理想都是主理想的環(huán)。阿廷序列環(huán)是特殊的QF環(huán)，它也具有良好的同調(diào)性質(zhì)。畢爾德(Byrd，K.A.)于1970年證明：環(huán)R是序列環(huán)當且僅當任意R模是擬內(nèi)射的；又當且僅當它是擬投射的。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)