[科普中國]-馬可夫性質(zhì)

馬可夫性質(zhì)(Markov property)與群的許多判定問題相關(guān)的一類重要的代數(shù)性質(zhì)的性質(zhì)。有限呈示的群的一條代數(shù)性質(zhì)稱為馬可夫性質(zhì)。若滿足：1）存在一個(gè)有限呈示的群具有此性質(zhì)，2）存在一個(gè)有限呈示的群不能嵌人一個(gè)具有此性質(zhì)的群。例如:有限性、可交換性、具有字問題可解性、單性、自由性等均為馬可夫性質(zhì)。

簡介馬可夫性質(zhì)（英語：Markov property）是概率論中的一個(gè)概念，因?yàn)槎韲鴶?shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫得名。當(dāng)一個(gè)隨機(jī)過程在給定現(xiàn)在狀態(tài)及所有過去狀態(tài)情況下，其未來狀態(tài)的條件概率分布僅依賴于當(dāng)前狀態(tài)；換句話說，在給定現(xiàn)在狀態(tài)時(shí)，它與過去狀態(tài)（即該過程的歷史路徑）是條件獨(dú)立的，那么此隨機(jī)過程即具有馬爾可夫性質(zhì)。具有馬爾可夫性質(zhì)的過程通常稱之為馬爾可夫過程。

定義數(shù)學(xué)上，如果為一個(gè)隨機(jī)過程，則馬爾可夫性質(zhì)就是

馬爾可夫過程通常稱其為（時(shí)間）齊次，如果滿足

除此之外則被稱為是**（**時(shí)間）非齊次的。齊次馬爾可夫過程通常比非齊次的簡單，構(gòu)成了最重要的一類馬爾可夫過程1。

某些情況下，明顯的非馬爾可夫過程也可以通過擴(kuò)展“現(xiàn)在”和“未來”狀態(tài)的概念來構(gòu)造一個(gè)馬爾可夫表示。設(shè)為一個(gè)非馬爾可夫過程。我們就可以定義一個(gè)新的過程，使得每一個(gè)的狀態(tài)表示的一個(gè)時(shí)間區(qū)間上的狀態(tài)，用數(shù)學(xué)方法來表示，即

如果具有馬爾可夫性質(zhì)，則它就是的一個(gè)馬爾可夫表示。 在這個(gè)情況下，也可以被稱為是二階馬爾可夫過程。更高階馬爾可夫過程也可類似地來定義。

具有馬爾可夫表示的非馬爾可夫過程的例子，例如有移動(dòng)平均時(shí)間序列。

最有名的馬爾可夫過程為馬爾可夫鏈，但不少其他的過程，包括布朗運(yùn)動(dòng)也是馬爾可夫過程2。

應(yīng)用舉例賭徒輸光問題兩個(gè)賭徒甲、乙進(jìn)行一系列賭博。在每一局中甲獲勝的概率為p ，乙獲勝的概率為q，p+q=1，每一局后，負(fù)者要付一元給勝者。如果起始時(shí)甲有資本a 元，乙有資本b 元，a+b=c元，兩人賭博直到甲輸光或乙輸光為止，求甲輸光的概率。

這個(gè)問題實(shí)質(zhì)上是帶有兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)。這時(shí)的狀態(tài)空間為{0，1，2，…, c }, c=a+b, a?1,b ? 1?，F(xiàn)在的問題是求質(zhì)點(diǎn)從a 點(diǎn)出發(fā)到達(dá)0狀態(tài)先于到達(dá)c 狀態(tài)概率。

無限制隨機(jī)游動(dòng)問題質(zhì)點(diǎn)在直線上做隨機(jī)游動(dòng)。如某一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于i，則下一步質(zhì)點(diǎn)以概率p向右移動(dòng)一格到達(dá)i+i?；蛞愿怕?-p=q向左移一格到達(dá)i-1。若以ξ(n) 表示時(shí)刻n時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置，則{ξ(n),n=0,1,2,…}是一個(gè)隨機(jī)過程。而且當(dāng)ξ(n) =i時(shí)， ξ(n+1), ξ(n+2),… ξ(n+k),…等n時(shí)刻后質(zhì)點(diǎn)所處的狀態(tài)只與ξ(n)=i有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)在n以前是如何到達(dá)i的完全無關(guān)。所以它是一個(gè)齊次馬爾可夫鏈。

相關(guān)知識(shí)馬爾科夫鏈

馬爾科夫過程

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李宗秀 - 副教授 - 黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院