[科普中國]-舒爾指數(shù)

舒爾指數(shù)(Schur index)是指與有限中心單代數(shù)相似的可除代數(shù)的次數(shù)。對域F上有限維中心單代數(shù)A，從同構(gòu)意義上來說存在惟一中心可除代數(shù)D和某自然數(shù)n，使得。將相應(yīng)于A的可除代數(shù)D的次數(shù)稱為A的舒爾指數(shù)，記為。舒爾指數(shù)也可對任意可分代數(shù)定義，特別地，有限維半單代數(shù)，若對每個(gè)單代數(shù)的舒爾指數(shù)定義為作為它中心上代數(shù)的舒爾指數(shù)，則就稱為A的舒爾指數(shù)1。

設(shè)為在上的舒爾指數(shù)，并記為。

定理1設(shè)的有限域，則總有，換句話說對應(yīng)于指標(biāo)的絕對不可約表示總可以在上實(shí)現(xiàn)。

定理2 設(shè)為的一個(gè)絕對不可約表示，其指標(biāo)為。

a) 若可以在的某擴(kuò)域上實(shí)現(xiàn)，并且，則舒爾指數(shù)是的因子。

b) 存在的一個(gè)擴(kuò)域，使，而且可在上實(shí)現(xiàn)。

c) 在上可實(shí)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)是k的因子。

d) 是的因子。

定理3設(shè)為不可約-模，為的分裂域而為在上的表示的絕對不可約分量，那么，是完全可約的，它的絕對不可約分量就是全體在K與D共軛的表示，而且每一個(gè)等價(jià)類都以相同的重?cái)?shù)s出現(xiàn)，若為D的指標(biāo)，則s等于在上的舒爾指數(shù)，若為的指標(biāo)，則

其中取遍在K上的伽羅華群的元素。

定理4設(shè)，而為在的某擴(kuò)域上的絕對不可約指標(biāo)。

a) 恰有一個(gè)在上的不可約指標(biāo)，使，這里，此處H為在上的伽羅華群。

b) 若為在上的指標(biāo)，則總能被舒爾指數(shù)整除2。

舒爾(Schur，Issai，1875.1.10-1941.1.10)是德國數(shù)學(xué)家。生于俄國莫吉廖夫，卒于巴勒斯坦特拉維夫(現(xiàn)屬以色列)。曾在柏林大學(xué)讀過書。1911年執(zhí)教于波恩，1919年任柏林大學(xué)數(shù)學(xué)教授。1935年受納粹當(dāng)局迫害離職，1939年移居巴勒斯坦。舒爾是當(dāng)時(shí)德國最優(yōu)秀的猶太數(shù)學(xué)家之一，他追隨其師弗羅貝尼烏斯研究群的表示理論，以發(fā)現(xiàn)“舒爾函數(shù)”和證明“舒爾定理”而著稱。他第一個(gè)通過線性函數(shù)變換來研究所謂“表示”，并首先在代數(shù)數(shù)域問題上使用了“舒爾指數(shù)”，還重建了群的特征理論(1905年)。此外，他對群論、矩陣?yán)碚?、代?shù)方程論、數(shù)論、級(jí)數(shù)理論、積分方程和函數(shù)論等領(lǐng)域均有論述。舒爾的研究工作對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展有很大影響。1973年，德國著名的施普林格出版社出版了他的論文集。