[科普中國]-幾何格

格與格論

格是有著廣泛應用的一類偏序集。它是具有兩個二元運算的代數(shù)系。設(shè)L是偏序集，若L的任兩個元素均有上確界及下確界，則稱L為格，記為(L;≤)，簡記為L.a，b∈L，{a，b}的上、下確界分別記為a∨b(即sup{a，b})及a∧b(即inf{a，b})。格亦可用恒等式來定義，它是由戴德金(Dedekind，J.W.R.)給出的。若代數(shù)系L有兩個代數(shù)運算∧，∨，且對任意a，b，c∈L，滿足下列恒等式：2

|| ||

則稱L為格，記為(L;∧，∨)，簡記為格L。上述兩種定義是等價的。1951年，索金(Sorkin，Ju.I.)用僅含三個變量的四個恒等式刻畫了格；1972年，沛德邁耐罕(Padmanabhan，R.)發(fā)現(xiàn)可用僅含三個變量的兩個恒等式刻畫格，但不能用少于三個變量的兩個恒等式刻畫格。19世紀末，皮爾斯(Peirce，C.S.)和施羅德(Schro¨der，F(xiàn).W.K.E.)在研究布爾代數(shù)的公理化以及戴德金研究代數(shù)數(shù)的理想時獨立地提出了格的概念；1897年，戴德金首先對格進行了研究。在20世紀30年代中期，伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)的著作開始了格論的全面發(fā)展，他的一系列文章展示了格論的重要性，并使格論成為代數(shù)學的一門重要分支。3

偏序集偏序集是一種特定的集。它是一類主要的序關(guān)系集。具體地說，集合E連同其上的偏序R構(gòu)成的關(guān)系集(E，R)，一般記為P=(E，≤)。所謂偏序(或序關(guān)系)是一類具有自反性、反對稱性和傳遞性的二元關(guān)系。例如，數(shù)之間的不大于關(guān)系，自然數(shù)之間的整除關(guān)系，集合之間的包容關(guān)系等。把集合E的基數(shù)稱為偏序集P的階。階為有限值的偏序集稱為有限偏序集。而在P上，對于任意元素x，y，區(qū)間[x，y]均為有限偏序集時，稱P為局部有限偏序集。這兩類偏序集是組合理論中的主要研究對象。偏序集上所有鏈的長度的最小上界，或上確界，稱為偏序集的長度，記為l(P)。偏序集中最大反鏈包含的元素數(shù)目，稱為偏序集的寬度，記w(p)。對于以右圖為哈塞圖的偏序集P，有l(wèi)(P)=3，w(P)=2.偏序集的子關(guān)系集仍為偏序集，而且必有全序集作為其子關(guān)系集。4

幾何格的定義幾何格(geometric lattice)一種組合構(gòu)形。它是滿足下述條件1的有限半模格。條件1：格的每個元素均可表示為基元的結(jié)運算。而滿足條件1的格，亦稱為基元格或點格。簡言之，幾何格既是半模格，又是基元格。在幾何格里，可按不同秩的平集相應地引入‘基本的幾何概念。例如，把秩為1的平集稱為點，秩為2的平集稱為線，秩為3的平集稱為面等。而當空集必的閉集可非空時，其中的元素稱為自環(huán)。當元素a和b與閉集a和b相同時，則稱a和b為相互平行元素。

幾何格和組合幾何的關(guān)聯(lián)極為密切。設(shè)A為幾何格L的基元集，A的子集X為某組合幾何Gr,(A)的平集，當且僅當L有元素x，使得X={a∈A}a≤x}。而組合幾何VL(A)的秩函數(shù)可以由格L的高度函數(shù)h來定義：r(X)=h(V X)，這里：

VX=ai1, V ai2 V…V aik , X={ai1，ai2，...，aik}。

因此，組合幾何的有關(guān)概念均可以等價地用幾何格的語言表述。例如，幾何格基元素{x},x2,"..}xn}是獨立的，當且僅當h