[科普中國]-拉丁矩

拉丁矩(Latin rectangle)是拉丁方的推廣。設(shè)X為n元集，A為X上的r×s陣列，若同行和同列都沒有重復(fù)的元素，則稱A為X上的一個(gè)r×s拉丁矩。特別地，當(dāng)r=s=n時(shí)，便得到一個(gè)n階拉丁方。若集X={1，2，…，n}上的n階拉丁方A=(aij)滿足aii=i，1≤i≤n，則稱該拉丁方是冪等的。若A滿足aij=aji，1≤i≤j≤n，則稱之為對(duì)稱拉丁方。若一個(gè)n階拉丁方的n個(gè)位置分布在不同行及不同列且含不同的元素，則稱這n個(gè)位置構(gòu)成該拉丁方的一個(gè)截態(tài)。若一個(gè)拉丁方的主對(duì)角線(位置(i，i)，1≤i≤n)及反對(duì)角線(位置(i，n+1-i)，1≤i≤n)均為截態(tài)，則稱之為對(duì)角拉丁方1。

定義定義1 設(shè)是一個(gè)矩陣，若的任一行是集的一個(gè)s-排列，任一列是集的一個(gè)m-排列，則稱是一個(gè)拉丁矩。

若，則就是拉丁方。

定義2 設(shè)是一個(gè)拉丁矩，如果的第一行為，則稱為行規(guī)范的拉丁矩。若一個(gè)的拉丁矩，第一列為，則稱為列規(guī)范的拉丁矩2。

相關(guān)性質(zhì)定理構(gòu)造拉丁方

對(duì)于任何正整數(shù)n，可以從一個(gè)的行規(guī)范的拉丁矩出發(fā)來構(gòu)造一個(gè)n階拉丁方，最簡(jiǎn)單的方法如下。

(1) 寫出的行規(guī)范拉丁矩為；

(2) 將最后一列的n與前面的列交換到第一列，就得到拉丁矩的第二行。于是階拉丁矩為

(3) 再將拉丁矩的第二行中最后一列與第二行前面的列交換到第一列，就得到拉丁矩的第三行，于是拉丁矩為

反復(fù)這樣的過程，直到得到一個(gè)拉丁方為止。例如，下面的拉丁方就是按以上方法得到的。

這種構(gòu)造拉丁方的方法，不一定從規(guī)范拉丁矩出發(fā)，還可以從的任意一個(gè)全排列的拉丁矩出發(fā)來構(gòu)造一個(gè)拉丁方。那么，對(duì)于一個(gè)拉丁矩又如何構(gòu)造一個(gè)拉丁方呢？我們有下面的定理2。

相關(guān)定理定理1設(shè)是集上的拉丁矩。用表示在此拉丁矩中出現(xiàn)的次數(shù)，則此拉丁矩可以擴(kuò)充為n階拉丁方的充要條件是

推論2 集的任一拉丁矩必可擴(kuò)充為一個(gè)n階拉丁方。

定理3令n為一正整數(shù)。令A(yù)為n行n列陣列，其行列上的元素為

則為基于的n階拉丁方。

定理4 令為中和n互素的非零整數(shù)，A為n行n列陣列，其i行j列上的元素為

則A為基于的n階拉丁方2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

何星 - 副教授 - 上海交通大學(xué)