[科普中國]-混合外代數(shù)

概念介紹

混合外代數(shù)(mixed exterior algebra)外代數(shù)的推廣。設(shè)E*，E是特征為零的域K上的對偶空間，∧E*，∧E是E*，E的外代數(shù)，若∧(E*，E)=∧E*∧E為∧E*與∧E的標(biāo)準(zhǔn)張量積，對任意u*，v*∈∧E*，u，v∈∧E，定義：

則∧(E*，E)是一個有單位元的結(jié)合代數(shù)，稱為E*，E上的混合外代數(shù)。它是由形如11，x*1，1x(x*∈E*，x∈E)的元生成的代數(shù)。1

代數(shù)數(shù)學(xué)的一個分支。傳統(tǒng)的代數(shù)用有字符 (變量) 的表達式進行算術(shù)運算，字符代表未知數(shù)或未定數(shù)。如果不包括除法 (用整數(shù)除除外)，則每一個表達式都是一個含有理系數(shù)的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數(shù)方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等于零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量，那么滿足這一方程式的將是一定數(shù)量的實數(shù)或復(fù)數(shù)——它的根。一個代數(shù)數(shù)是某一方程式的根。代數(shù)數(shù)的理論——伽羅瓦理論是數(shù)學(xué)中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死于決斗中。他證明了不可能有解五次方程的代數(shù)公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規(guī)不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多于一個變量的代數(shù)方程理論屬于代數(shù)幾何學(xué)，抽象代數(shù)學(xué)處理廣義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它們與算術(shù)運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(shù)(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(shù)(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結(jié)構(gòu)以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特征。特別重要的是結(jié)合律和交換律。代數(shù)方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數(shù)學(xué)的各分支。

設(shè)K為一交換體。把K上的向量空間E叫做K上的代數(shù)，或叫K-代數(shù)，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)：2

——記為加法的合成法則(x，y)?x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)?xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)?αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設(shè)A為一非空集合。賦予從A到K中的全體映射之集?(A，K)以如下三個法則：

則?(A， K)是K上的代數(shù)， 自然地被稱為從A到K中的映射代數(shù)。當(dāng)A=N時， 代數(shù)?(A，K)叫做K的元素序列代數(shù).

無論是在代數(shù)還是在分析中，代數(shù)結(jié)構(gòu)都是最常見到的結(jié)構(gòu)之一。十九世紀(jì)前半葉末，隨著哈密頓四元數(shù)理論的建立，非交換代數(shù)的研究已經(jīng)開始. 在十九世紀(jì)下半葉，隨著M.S.李的工作，非結(jié)合代數(shù)出現(xiàn)了，到二十世紀(jì)初，由于放棄實數(shù)體或復(fù)數(shù)體作為算子域的限制，代數(shù)得到了重大擴展。

與外代數(shù)，對稱代數(shù)，張量代數(shù)，克利福德代數(shù)等一起，代數(shù)結(jié)構(gòu)在多重線性代數(shù)中也建立了起來。

外代數(shù)定義一由模的張量積構(gòu)造的一類代數(shù)。設(shè)T(M)是R模M是張量代數(shù)，若：3

是i個M的張量積，則：

其中。若B是一切，x∈M在T(M)中生成的理想，則：

且.

稱商代數(shù)E(M)=T(M)/B為外代數(shù)。若：

則，且。因此，E(M)為一個分次代數(shù)。若A是R代數(shù)，f為R模M到A的R模同態(tài)，滿足：

則由T(M)的泛性質(zhì)，f可惟一擴張為T(M)到A的代數(shù)同態(tài)f*，且滿足：

由于f*的核含一切，任意x∈M，即，所以存在E(M)到A的代數(shù)同態(tài)f-：x+B→f(x)。于是，R模M到R代數(shù)A的模同態(tài)f，若滿足f(x)=0，x∈M，則f可惟一擴張為E(M)到A的R代數(shù)同態(tài)：

f：f(x+B)=f(x).

定義二各階反變張量空間的并構(gòu)成的代數(shù)。用Λ(V)記形式和：

則Λ(V)是2維向量空間。設(shè)：

其中。ξ與η的外積是：

則Λ(V)關(guān)于外積成為一個代數(shù)，稱為向量空間V的外代數(shù)或格拉斯曼代數(shù)。

向量空間Λ(V)的基底是{1，ei，ei1∧ei2，…，e1∧…∧en}(1≤i≤n，1≤i1