[科普中國]-完全正矩陣

完全正矩陣(totally positive matrix)是一個重要的非負矩陣子類，起源于穩(wěn)定性理論的研究，在彈性系統(tǒng)之微振動理論等方面有廣泛的應(yīng)用。若A=(aij)n×n≥0滿足所有子式皆正(非負)，則稱A為完全正(非負)陣，記為A∈TP(TN)。若A∈TP，則下述基本結(jié)論成立：1.A∈P且每一特征值皆為非負實數(shù)；2.若σ(A)={λ1(A)≥λ2(A)≥…≥λn(A)}，Ak為A劃去k行k列后得到的n-1階子陣，則λ1(A)≥λ1(Ak)≥λ2(A)，λn-1(Ak)≥λn(A)，1≤k≤n；3.det A≤det Apdet An-p，式中Ap表示A之p階順序主子陣，An-p表示A之后n-p階主子陣1。

定義定義1矩陣稱為階符號****確定矩陣，如果對任意的，所有異于零的p階子式有同樣的符號。如果這時對任意的，所有p階子式異于零，我們將稱矩陣A是d階嚴格符號確定矩陣.

特別地，在時，d階符號確定(嚴格符號確定)矩陣稱為d階完全非負(完全正)矩陣。

關(guān)于振蕩矩陣的概念推廣如下：

定義2 階符號確定矩陣被稱為階矩陣，如果矩陣A 的某次冪是d階嚴格符號確定矩陣。

顯然，振蕩矩陣是階完全非負矩陣。

**附注:**當(dāng)時，我們?nèi)サ粼~“d階”并簡單地說成符號確定矩陣、嚴格符號確定矩陣、完全非負矩陣、完全正矩陣。

定義3 矩陣將被稱為完全非負(完全正)的，如果它的所有任意階子式非負(為正)：

， （在時）

相關(guān)性質(zhì)我們指出完全非負矩陣的某些簡單性質(zhì)：

① 兩個完全非負矩陣的乘積是完全非負矩陣。

② 完全正矩陣與非奇異的完全非負矩陣的乘積是完全正矩陣。

③ 如果非奇異矩陣A是完全非負的，那么它的逆矩陣是符號規(guī)則的；相反，如果一個非奇異矩陣A是符號規(guī)則的，那么它的逆矩陣是完全非負的。

④如果矩陣A是完全正的，那么它的逆矩陣是嚴格符號規(guī)則的；相反，如果一個矩陣A是嚴格符號規(guī)則的，那么它的逆矩陣是完全正的。

⑤如果非奇異矩陣A是完全非負的，那么矩陣也是完全非負的；如果矩陣A是完全正的，那么矩陣也是完全正的。

實例分析例1所有完全非負矩陣(完全正矩陣)是符號確定(嚴格符號確定)矩陣。

例2如果在完全非負(完全正)矩陣A 中以相反的次序交換所有的行(或所有列)，那么得到符號確定(嚴格符號確定)矩陣。這時對任意的，將有

例3 雙元矩陣具有元素

這里所有的數(shù)異于零，當(dāng)且僅當(dāng)所有數(shù)有同樣的符號，所有數(shù)有同樣的符號并滿足下列兩組不等式之一時是符號確定的：

① 或 ②

在情況①下，在情況②下，。

矩陣的秩r等于不等式①中小于號(相應(yīng)的②中的大于號)的個數(shù)加1。

這個結(jié)論的正確性由任意階雙元矩陣的子式由數(shù)表出的公式推出。

例4 廣義范德蒙特矩陣

是完全正矩陣。

例5矩陣

是完全正矩陣。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)