[科普中國(guó)]-正交施泰納三元系

正交施泰納三元系(orthogonal Steiner triple system)是一類組合對(duì)象，是與羅姆方有關(guān)的對(duì)象。羅姆方也與正交施泰納三元系密切相關(guān)，由|X|=n時(shí)正交施泰納三元系的存在性可以導(dǎo)出n階羅姆方的存在性1。

基本介紹設(shè)及是兩個(gè)施泰納三元系，若且當(dāng)A含與，B含與時(shí)，必有，則稱它們?yōu)?strong>正交施泰納三元系1。

相關(guān)概念施泰納三元系施泰納三元系（斯坦納三元系）是滿足中的（平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)），斯坦納三元系（施泰納三元系）記為?？驴寺?5名女學(xué)生問題是斯坦納三元系中一個(gè)的問題。瑞士數(shù)學(xué)家斯坦納( Steiner)在1853年研究四次曲線的二重切線時(shí)遇到的區(qū)組設(shè)計(jì)，其在數(shù)字通訊理論、快速變換、有限幾何等領(lǐng)域有非常重要的作用1。

我國(guó)學(xué)者陸家羲（1935-1983）經(jīng)過多年研究，編寫了《不相交的斯坦納三元系大集》等七篇論文，解決了國(guó)際上斯坦納三元系理論多年未解決的難題。

定理1滿足的的必要條件為

和

由定理1知，滿足的BIBD的有

和

當(dāng)時(shí)，有

和

得和，,有

由于b是整數(shù)，那么，可取，但時(shí)，，不是整數(shù)。所以，或或。

羅姆方羅姆方(Room square)是一類特殊的組合設(shè)計(jì)，將一個(gè)2n元集的所有2元子集放在一個(gè)2n-1階的方陣中，使其中每個(gè)位置或者空著，或者放一個(gè)2元子集，并使這2n個(gè)元在每一行各出現(xiàn)一次，且在每一列各出現(xiàn)一次，稱這樣的方陣為2n-1階的羅姆方。羅姆方最早出現(xiàn)在1850年柯克曼女生問題的論文中，利用下圖的7階羅姆方可以作出15女生問題的一個(gè)解，一個(gè)解由7個(gè)平行類構(gòu)成，每個(gè)平行類由一個(gè)行得到，將該行上每個(gè)2元子集連同它的列標(biāo)號(hào)構(gòu)成一個(gè)三元組，共得四個(gè)三元組，連同該行三個(gè)空格的列標(biāo)號(hào)構(gòu)成的三元組，形成15元集上的一個(gè)平行類。

豪韋爾(E.C.Howell)于1897年發(fā)現(xiàn)橋牌比賽安排問題也涉及到這一類方陣，羅姆(T.G.Room)不知這些情況，于1955年提出這一類方陣的存在性問題，后來這類方陣便稱為羅姆方。2n-1階羅姆方存在的充分必要條件為2n-1≠3，5。主要由沃利斯(W.D.Wallis)及馬林(R.C.Mullin)解決。在存在性的研究中還發(fā)現(xiàn)了與別的組合結(jié)構(gòu)的等價(jià)性，例如正交對(duì)稱拉丁方，正交1因子分解等，在推廣羅姆方的過程中，還引出了雙可分解BIBD設(shè)計(jì)的概念，成為目前感興趣的研究課題1。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)