[科普中國]-埃爾米特函數(shù)

定義

在數(shù)學(xué)分析的領(lǐng)域中，埃爾米特函數(shù)是當(dāng)一個(gè)函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)與將原函數(shù)的自變量變號后的值相等的復(fù)變函數(shù)。對于所有在f定義域內(nèi)的所有x 滿足:

（其中上橫線表示復(fù)共軛）

這個(gè)定義也可以擴(kuò)展到兩個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，例如，對于兩個(gè)變量的函數(shù) f，當(dāng) f 定義域內(nèi)的所有數(shù)對 滿足

時(shí)，它為埃爾米特函數(shù)。

根據(jù)這個(gè)定義,可得出一個(gè)很顯然的推論:當(dāng)且僅當(dāng)

f 的實(shí)部為偶函數(shù)，并且

f 的虛部為奇函數(shù)

時(shí)，f 是埃爾米特函數(shù)。

應(yīng)用埃爾米特函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)、物理和信號處理中。根據(jù)傅里葉變換的基本性質(zhì)，可以得出以下兩條敘述：

實(shí)函數(shù)的傅里葉變換為埃爾米特函數(shù)

埃爾米特函數(shù)的傅里葉變換為實(shí)函數(shù)

由于實(shí)信號的傅里葉變換可以保證是埃爾米特函數(shù)，因而可以將埃爾米特奇/偶對稱性用于壓縮。這使得經(jīng)過離散傅里葉變換的信號（為一般復(fù)數(shù)）可以存儲(chǔ)在與原實(shí)數(shù)信號相同的空間中。

若f為埃爾米特函數(shù)，則

其中是互相關(guān)，而 是卷積。

若f與g都是埃爾米特函數(shù)，則。