[科普中國]-二階曲面

簡介二階曲面的代數(shù)定義

滿足二次方程的點集稱為二階曲面或二階代數(shù)曲面。當(dāng)時，二階曲面為常態(tài)的；當(dāng)時，二階曲面為變態(tài)的。1

二階曲面的射影定義兩個射影面束的對應(yīng)平面的交線集合連同這兩個面束的軸構(gòu)成二階曲面或二階射影曲面。當(dāng)兩束軸異面時，二階曲面為常態(tài)的；當(dāng)兩束軸共面時，二階曲面是變態(tài)的。

在研究二階曲面的射影分類中可知，二階曲面共可分為八類，其中常態(tài)的可分三類：

(一)、無實點的二階曲面

(二)、有實點但無實直線的二階曲面

(三)有兩族實直線的二階曲面。

變態(tài)的可分五類：

(四)虛二階錐面

(五)、實二階錐面

(六)、兩共扼虛平面

(七)、兩相異實平面

(八)、兩重合平面。

欲證關(guān)于立階曲面的兩種定義的等價性，只須證明上述八類曲面均可由兩射影面束的對應(yīng)平面交線構(gòu)成即可。反之，凡是由兩射影面束的對應(yīng)平面交線所生成的曲面僅此八類。這就是說，由二階曲面的代數(shù)定義可推出射影定義，反之，由二階曲面的射影定義可推出代數(shù)定義。2

引理引理1一個常態(tài)二階曲面：，上總存在著兩族未必為實的直母線。若在同族中任取兩直母線a,a'，過a、a'分別作平面，使的交線m在上，則由所確定的面束a到a'的映射成非透視的射影對應(yīng)。

引理2設(shè)以兩不交直線a、a'為軸的面束a{π}與a'{π'}成非透視的射影對應(yīng)，則其對應(yīng)平面的交線的集合為通過兩束軸的常態(tài)二階曲面。3

定理定理1二階射影曲面是二階代數(shù)曲面。

證明：

i)當(dāng)產(chǎn)生二階射影曲面的兩射影面束的軸不同時，可分三種情形：

1)當(dāng)兩軸不交時，由引理2知其對應(yīng)平面的交線集合為一常態(tài)二階代數(shù)曲面，又由引理1前半部分知其包括(一)、(二)、(三)三種類型。

2)當(dāng)兩軸相交而成非透視的射影對應(yīng)時，設(shè)兩軸a、a'交于點S，這兩個面束與任一相異于由a、a'確定的平面的平面w的交線是一對射影線束，它們的中心是已知面束的軸a、a'與平面w的交點S1、S2。非透視的射影線束S1、S2在平面上構(gòu)成二階曲線。射影面束a、a'的對應(yīng)平面交線通過曲線上的點與點S，因此，兩面束的對應(yīng)平面交線構(gòu)成有頂點與準(zhǔn)線r的變態(tài)二階曲面——二階錐面。并有虛、實兩種可能。當(dāng)曲線是虛二階曲線時，S是僅有的實點，即所得的曲面是虛二階錐面；當(dāng)r是實二階曲線時，曲面上有一族過S的實毋線而稱為實二階錐面。

因此，二階錐面作為兩個射影面束的對應(yīng)平面交線的集合是二階代數(shù)曲面。

3)當(dāng)兩軸相交而成透視對應(yīng)時，兩射影面束投射作為它們公共截影的同一線束。假定以a、a'為軸的面束投射平面w上的同一線束S(l、m、n...)，這時，軸a、a'過中心S。顯然，所求的兩面束a、a’的對應(yīng)平面交線集合由線束S(l、m、n...)和通過軸a、a'的平面上所有直線組成。由于公共平面元自對應(yīng)，所以在兩個射影面束成透視的情形下，二階錐面分解為兩個平面w和。因而是二階代數(shù)曲面。

ii)當(dāng)產(chǎn)生二階射影曲面的兩射影面束的軸相同時，這時一般有兩個二重平面，可分三種情形：

1)構(gòu)成雙曲型射影對應(yīng)，有兩個相異的二重實平面，即對應(yīng)平面的交線軌跡為兩個相異實平面所組成的變態(tài)二階曲面。

2)構(gòu)成拋物型射影對應(yīng)，有兩個重合的二重平面、即對應(yīng)平面的交線軌跡為兩個重合平面所組成的變態(tài)二階曲面。

3)構(gòu)成橢圓型射影對應(yīng)，有兩個共扼的虛二重平面,即對應(yīng)平面為交線軌跡為兩個共扼的虛平面所組成的變態(tài)二階曲面。

綜上所述,成射影對應(yīng)的兩面束，無論兩軸不交、相交或重合,其對應(yīng)平面交線軌跡總組成一個二階曲面，對應(yīng)的方程均為二次方程,即二階射影曲面是二階代數(shù)曲面。4

定理2二階代數(shù)曲面是二階射影曲面。

證法同上。